Hauptkomponentenanalyse

Die Hauptkomponentenanalyse ist ein statistisches Werkzeug, welches in den 1980er Jahren Einzug in die geodätische Netzausgleichung gehalten hat. Sie dient im Allgemeinen zur Strukturierung, Charakterisierung und Vereinfachung von umfangreichen Datensätzen in der multivariaten Statistik. Die Berechnung der Hauptkomponenten einer Varianz-Kovarianz-Matrix einer multivariaten Stichprobe erfolgt über eine spektrale Zerlegung. Das spezielle Matrizeneigenwertproblem lautet für die Varianz-Kovarianz-Matrix der Netzkoordinaten

$$\left ( \mathbf{C_{\hat x \hat x}} - \lambda_i \cdot \mathbf{I} \right ) \mathbf{m}_i = \mathbf{0}$$

bzw. unter Verwendung der auf die Koordinatenanteile reduzierten Normalgleichungsmatrix

$$\left ( \mathbf{\bar N} - \frac{\hat{\sigma}^2_0}{\lambda_i} \cdot \mathbf{I} \right ) \mathbf{m}_i = \mathbf{0}$$

worin $\lambda_i$ die Eigenwerte der Matrix und $\mathbf{m}_i$ die korrespondierenden Eigenvektoren, mit $|\mathbf{m}_i| = 1$, sind. $\mathbf{I}$ repräsentiert die Einheitsmatrix. Die einzelnen spektralen Vektorkomponenten $\varsigma_i$ ergeben sich aus

$$\mathbf{\varsigma}_i = \sqrt{\lambda_i} \cdot \mathbf{m}_i$$

und entsprechen der i-ten Halbachse des Fehlerhyperellipsoids. Es gilt

$$\mathbf{C_{\hat x \hat x}} = \sum\limits_{i=1} \lambda_i \cdot \mathbf{m}_i\mathbf{m}_i^T$$

und somit

$$\tr \mathbf{C_{\hat x \hat x}} = \sum\limits_{i=1} \lambda_i$$

Liegen die Eigenwerte $\mathbf{\lambda} = \left ( \lambda_{max}, \lambda_{max-1}, ..., \lambda_{i}, ..., \lambda_{min} \right )^T$ der Größe nach geordneten vor, so entspricht

$$\mathbf{\varsigma}_{max} = \sqrt{\lambda_{max}} \cdot \mathbf{m}_{max}$$

der 1. Hauptkomponente. In entsprechender Analogie wird die 2. Hauptkomponente $\varsigma_{max-i}$ aus dem zweitgrößten Eigenwert $\lambda_{max-1}$ und dem korrespondierenden Eigenvektor $\mathbf{m}_{max-1}$ gebildet.

Von einer Schwachform spricht man, wenn die 1. Hauptkomponente (oder die ersten Hauptkomponenten) bereits einen wesentlichen Anteil an der Summe aller Varianzen, $\tr \mathbf{C_{\hat x \hat x}}$, aufweist. In diesem Zusammenhang wird häufig auch vom einer dominanten Eigenform gesprochen, welche die Tendenz des Netzes charakterisiert, seine geometrische Form zu verlassen (vgl. Schmitt 1997). In Analogie zur Mechanik beschreibt die Eigenform somit das Eigenschwingungsverhalten bzw. Stabilitätsprobleme eines mechanischen Systems (vgl. Jäger 1988). Dieses Schwingungsverhalten ist kritisch, da diese scheinbaren Punktveränderungen bspw. im Rahmen einer Deformationsanalyse missinterpretiert werden können. JAG3D führt am Ende einer Netzausgleichung eine Hauptkomponentenanalyse durch und bestimmt wahlweise die ersten Hauptkomponenten des Netzes.

In der Literatur gibt es unterschiedliche Angaben, ab wann ein Netz die Charakteristik einer dominanten Schwachform aufweist. Laut Niemeier (1982) ist dies bereits bei einem Anteil $\frac {\lambda_{max}}{\tr \mathbf{C_{\hat x \hat x}}} \cdot 100 [\%]$ von 40 % - 60 % der Fall. Die Hauptschwachform kann durch die Wahl eines anderen Netzdatums, durch eine geänderte Netzkonfiguration oder durch ein geändertes stochastisches Modell beeinflusst werden.