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--- least-squares-adjustment:defect [2018/03/11 18:45] – angelegt Michael Lösler
+++ least-squares-adjustment:defect [2018/03/11 21:30] – [Ränderung der Normalgleichung] Michael Lösler
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-Das //geodätische Datum//, welches die Lagerung, Orientierung und ggf. Skalierung eines Netzes beschreibt, ist allein durch das Einführen von [[least-squares-adjustment:observations#terrestrische_beobachtungen|terrestrischen Beobachtungen]] und relativen [[least-squares-adjustment:observations#gnss-basislinien|GNSS-Basislinien]] nicht definiert. Dies bedeutet, dass Aufgrund des //Datumsdefektes// keine eindeutige Lösung für das Ausgleichungsproblem existiert. Diese Problemstellung tritt immer auf, wenn eine [[least-squares-adjustment:net_configuration#freie_netzausgleichung|freie Netzausgleichung]] durchgeführt wird, da durch den Datumsdefekt das Normalgleichungssystem einen Rangdefekt aufweist und somit unendlich viele Lösungen besitzt.
+Das //geodätische Datum//, welches die Lagerung, Orientierung und ggf. Skalierung eines Netzes beschreibt, ist allein durch das Einführen von [[least-squares-adjustment:observation#terrestrische_beobachtungen|terrestrischen Beobachtungen]] und relativen [[least-squares-adjustment:observation#gnss-basislinien|GNSS-Basislinien]] nicht definiert. Dies bedeutet, dass Aufgrund des //Datumsdefektes// keine eindeutige Lösung für das Ausgleichungsproblem existiert. Diese Problemstellung tritt immer auf, wenn eine [[least-squares-adjustment:configuration#freie_netzausgleichung|freie Netzausgleichung]] durchgeführt wird, da durch den Datumsdefekt das Normalgleichungssystem einen Rangdefekt aufweist und somit unendlich viele Lösungen besitzt.
 ===== Typische Netzkonfigurationen und auftretende Defekte =====
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 ===== Ränderung der Normalgleichung =====
-Zur Behebung des Defektes im Normalgleichungssystem werden in JAG3D //''d''// unabhängige Bedingungsgleichungen eingeführt und die Normalgleichungsmatrix //gerändert//. Die Bedingungsgleichungen leiten sich dabei aus einer differenziellen //Helmert//-Transformation mit //infinitesimalen// Drehwinkeln ab.
+Zur Behebung des Defektes im Normalgleichungssystem werden in JAG3D $d$ unabhängige Bedingungsgleichungen eingeführt und die Normalgleichungsmatrix //gerändert//. Die Bedingungsgleichungen leiten sich dabei aus einer differenziellen //Helmert//-Transformation mit //infinitesimalen// Drehwinkeln ab.
-$$\mathbf{x^'} = \mathbf{x} + \mathbf{Tt}$$
+$$\mathbf{x^{'}} = \mathbf{x} + \mathbf{Tt}$$
 Für den räumlichen Fall ergeben sich
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 & 0 & 0 & x &  0 & -z &  y \\
 & 1 & 0 & y &  z &  0 & -x \\
-& 0 & 1 & z & -y &  x &  0 \\
+& 0 & 1 & z & -y &  x &  0
 \end{pmatrix}
 $$
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 $$
 \mathbf{t} = \begin{pmatrix}
-t_x & t__y & t_z & m & r_x & r_y & r_z
+t_x & t_y & t_z & m & r_x & r_y & r_z
 \end{pmatrix}^T
 $$
-Die Ränderung der Normalgleichung erfolgt über die Bedingungsgleichung **''B<sup>T</sup>x=b''**, indem die zu den Datumspunkten gehörenden Zeilen in **''B''** mit **''T''** besetzt werden. Das entstehende geränderte Gleichungssystem lautet
+Die Ränderung der Normalgleichung erfolgt über die Bedingungsgleichung $\mathbf{B}^T\mathbf{x}=\mathbf{b}$, indem die zu den Datumspunkten gehörenden Zeilen in $\mathbf{B}$ mit $\mathbf{T}$ besetzt werden. Das entstehende //geränderte// Gleichungssystem lautet
 $$
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 $$
-worin der Widersprüche der Bedingungen **''b=0''** sind und **''k''** den Korrelatenvektor bezeichnet. Die sich ergebene Kofaktormatix **''Q<sub>xx</sub>''** besitzt minimale Spur für die Datumspunkte, weshalb im Zusammenhang mit der freien Netzausgleichung häufig von Teil- oder Gesamtspurminimierung gesprochen wird. Strenggenommen kann JAG3D keine Gesamtspurminimierung durchführen auch wenn alle Punkte zur Datumsbildung herangezogen werden, da keine Parameterreduktion für unbekannte Zusatzparameter im Normalgleichungssystem durchgeführt wird.
+worin der Widersprüche der Bedingungen $\mathbf{b}=\mathbf{0}$ sind und $\mathbf{k}$ den Korrelatenvektor bezeichnet. Die sich ergebene Kofaktormatix $\mathbf{Q_{\hat x \hat x}}$ besitzt minimale Spur für die Datumspunkte, weshalb im Zusammenhang mit der freien Netzausgleichung häufig von Teil- oder Gesamtspurminimierung gesprochen wird. Strenggenommen kann JAG3D keine Gesamtspurminimierung durchführen auch wenn alle Punkte zur Datumsbildung herangezogen werden, da keine Parameterreduktion für unbekannte Zusatzparameter im Normalgleichungssystem durchgeführt wird.