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Least-Squares Adjustment Software for Geodetic Sciences

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least-squares-adjustment:defect

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least-squares-adjustment:defect [2018/03/11 18:45] – angelegt Michael Löslerleast-squares-adjustment:defect [2025/02/15 20:08] (aktuell) – [Ränderung der Normalgleichung] Michael Lösler
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-Das //geodätische Datum//, welches die Lagerung, Orientierung und ggf. Skalierung eines Netzes beschreibt, ist allein durch das Einführen von [[least-squares-adjustment:observations#terrestrische_beobachtungen|terrestrischen Beobachtungen]] und relativen [[least-squares-adjustment:observations#gnss-basislinien|GNSS-Basislinien]] nicht definiert. Dies bedeutet, dass Aufgrund des //Datumsdefektes// keine eindeutige Lösung für das Ausgleichungsproblem existiert. Diese Problemstellung tritt immer auf, wenn eine [[least-squares-adjustment:net_configuration#freie_netzausgleichung|freie Netzausgleichung]] durchgeführt wird, da durch den Datumsdefekt das Normalgleichungssystem einen Rangdefekt aufweist und somit unendlich viele Lösungen besitzt. +Das //geodätische Datum//, welches die Lagerung, Orientierung und ggf. Skalierung eines Netzes beschreibt, ist allein durch das Einführen von [[least-squares-adjustment:observation#terrestrische_beobachtungen|terrestrischen Beobachtungen]] und relativen [[least-squares-adjustment:observation#gnss-basislinien|GNSS-Basislinien]] nicht definiert. Dies bedeutet, dass Aufgrund des //Datumsdefektes// keine eindeutige Lösung für das Ausgleichungsproblem existiert. Diese Problemstellung tritt immer auf, wenn eine [[least-squares-adjustment:configuration#freie_netzausgleichung|freie Netzausgleichung]] durchgeführt wird, da durch den Datumsdefekt das Normalgleichungssystem einen Rangdefekt aufweist und somit unendlich viele Lösungen besitzt. 
 +Im Gegensatz zu einem Konfigurationsdefekt, der bspw. durch das Fehlen von geeigneten Beobachtungen zur Bestimmung der gesuchten Modellparameter charakterisiert ist, bezieht sich der Datumsdefekt ausschließlich auf die Lagerung, Orientierung und ggf. Skalierung des Netzes.
 ===== Typische Netzkonfigurationen und auftretende Defekte ===== ===== Typische Netzkonfigurationen und auftretende Defekte =====
  
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 ===== Ränderung der Normalgleichung ===== ===== Ränderung der Normalgleichung =====
  
-Zur Behebung des Defektes im Normalgleichungssystem werden in JAG3D //''d''// unabhängige Bedingungsgleichungen eingeführt und die Normalgleichungsmatrix //gerändert//. Die Bedingungsgleichungen leiten sich dabei aus einer differenziellen //Helmert//-Transformation mit //infinitesimalen// Drehwinkeln ab.+Zur Behebung des Defektes im Normalgleichungssystem werden in JAG3D $d$ unabhängige Bedingungsgleichungen eingeführt und die Normalgleichungsmatrix //gerändert//. Die Bedingungsgleichungen leiten sich dabei aus einer differenziellen //Helmert//-Transformation mit //infinitesimalen// Drehwinkeln ab.
  
-$$\mathbf{x^'} = \mathbf{x} + \mathbf{Tt}$$+$$\mathbf{x^{'}} = \mathbf{x} + \mathbf{Tt}$$
  
 Für den räumlichen Fall ergeben sich Für den räumlichen Fall ergeben sich
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 1 & 0 & 0 & x &  0 & -z &  y \\ 1 & 0 & 0 & x &  0 & -z &  y \\
 0 & 1 & 0 & y &  z &  0 & -x \\ 0 & 1 & 0 & y &  z &  0 & -x \\
-0 & 0 & 1 & z & -y &  x &  0 \\+0 & 0 & 1 & z & -y &  x &  0
 \end{pmatrix} \end{pmatrix}
 $$ $$
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 $$ $$
 \mathbf{t} = \begin{pmatrix} \mathbf{t} = \begin{pmatrix}
-t_x & t__y & t_z & m & r_x & r_y & r_z+t_x & t_y & t_z & m & r_x & r_y & r_z
 \end{pmatrix}^T \end{pmatrix}^T
 $$ $$
  
-Die Ränderung der Normalgleichung erfolgt über die Bedingungsgleichung **''B<sup>T</sup>x=b''**, indem die zu den Datumspunkten gehörenden Zeilen in **''B''** mit **''T''** besetzt werden. Das entstehende geränderte Gleichungssystem lautet+Die Ränderung der Normalgleichung erfolgt über die Bedingungsgleichung $\mathbf{B}^T\mathbf{x}=\mathbf{b}$, indem die zu den Datumspunkten gehörenden Zeilen in $\mathbf{B}$ mit $\mathbf{T}$ besetzt werden. Das entstehend //geränderte// Gleichungssystem lautet
  
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-worin der Widersprüche der Bedingungen **''b=0''** sind und **''k''** den Korrelatenvektor bezeichnet. Die sich ergebene Kofaktormatix **''Q<sub>xx</sub>''** besitzt minimale Spur für die Datumspunkte, weshalb im Zusammenhang mit der freien Netzausgleichung häufig von Teil- oder Gesamtspurminimierung gesprochen wird. Strenggenommen kann JAG3D keine Gesamtspurminimierung durchführen auch wenn alle Punkte zur Datumsbildung herangezogen werden, da keine Parameterreduktion für unbekannte Zusatzparameter im Normalgleichungssystem durchgeführt wird.+worin die Widersprüche der Bedingungen $\mathbf{b}=\mathbf{0}$ sind und $\mathbf{k}$ den Korrelatenvektor bezeichnet. Die sich ergebene Kofaktormatix $\mathbf{Q_{\hat x \hat x}}$ besitzt minimale Spur für die Datumspunkte, weshalb im Zusammenhang mit der freien Netzausgleichung häufig von Teil- oder Gesamtspurminimierung gesprochen wird. Strenggenommen kann JAG3D keine Gesamtspurminimierung durchführen auch wenn alle Punkte zur Datumsbildung herangezogen werden, da keine Parameterreduktion für unbekannte Zusatzparameter im Normalgleichungssystem durchgeführt wird.
least-squares-adjustment/defect.1520790301.txt.gz · Zuletzt geändert: 2018/03/11 18:45 von Michael Lösler