Java·Applied·Geodesy·3D

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====== Datumsdefekt in der freien Ausgleichung ======


Das //geodätische Datum//, welches die Lagerung, Orientierung und ggf. Skalierung eines Netzes beschreibt, ist allein durch das Einführen von [[least-squares-adjustment:observation#terrestrische_beobachtungen|terrestrischen Beobachtungen]] und relativen [[least-squares-adjustment:observation#gnss-basislinien|GNSS-Basislinien]] nicht definiert. Dies bedeutet, dass Aufgrund des //Datumsdefektes// keine eindeutige Lösung für das Ausgleichungsproblem existiert. Diese Problemstellung tritt immer auf, wenn eine [[least-squares-adjustment:configuration#freie_netzausgleichung|freie Netzausgleichung]] durchgeführt wird, da durch den Datumsdefekt das Normalgleichungssystem einen Rangdefekt aufweist und somit unendlich viele Lösungen besitzt.
Im Gegensatz zu einem Konfigurationsdefekt, der bspw. durch das Fehlen von geeigneten Beobachtungen zur Bestimmung der gesuchten Modellparameter charakterisiert ist, bezieht sich der Datumsdefekt ausschließlich auf die Lagerung, Orientierung und ggf. Skalierung des Netzes.
===== Typische Netzkonfigurationen und auftretende Defekte =====

In der nachfolgenden Tabelle sind gängige Netzkonfigurationen mit dem auftretenden Datumsdefekt zusammengefasst.

^  Netztyp  ^                                 Beobachtungen                                                          ^ Defekt ^                  freie Datumsparameter                                                                                      ^
^ Höhennetz | Höhenunterschiede                                                                                      |   1    | z-Translation                                                                                  |
^ :::       | Höhenunterschiede mit Maßstabsunbekannte                                                               |   2    | z-Translation und Skalierung                                                                   |
^ Lagenetz  | Strecken und Azimute                                                                                   |   2    | x-Translation, y-Translation                                                                   |
^ :::       | Azimute; Strecken mit Maßstabsunbekannte und Azimute                                                   |   3    | x-Translation, y-Translation und Skalierung                                                    |
^ :::       | Strecken; Strecken und Richtungen                                                                      |   3    | x-Translation, y-Translation und z-Rotation                                                    |
^ :::       | Richtungen; Strecken mit Maßstabsunbekannte; Strecken mit Maßstabsunbekannte und Richtungen            |   4    | x-Translation, y-Translation, z-Rotation und Skalierung                                        |
^ Raumnetz  | Strecken und Azimute                                                                                   |   3    | x-Translation, y-Translation und z-Translation                                                 |
^ :::       | Strecken mit Maßstabsunbekannte und Azimute                                                            |   4    | x-Translation, y-Translation, z-Translation und Skalierung                                     |
^ :::       | Strecken und Richtungen; Strecken und Zenitwinkel; Strecken, Richtungen und Zenitwinkel                |   4    | x-Translation, y-Translation, z-Translation und z-Rotation                                     |
^ :::       | Richtungen und Zenitwinkel; Strecken mit Maßstabsunbekannte und Richtungen/Zenitwinkel                 |   5    | x-Translation, y-Translation, z-Translation, z-Rotation und Skalierung                         |
^ :::       | Strecken                                                                                               |   6    | x-Translation, y-Translation, z-Translation, x-Rotation, y-Rotation und z-Rotation             |
^ :::       | Strecken mit Maßstabsunbekannte                                                                        |   7    | x-Translation, y-Translation, z-Translation, x-Rotation, y-Rotation, z-Rotation und Skalierung |

Durch relative GNSS-Basislinienmessungen können die auftretenden Datumsdefekte bis auf die Translationsparameter verringert werden.


===== Ränderung der Normalgleichung =====

Zur Behebung des Defektes im Normalgleichungssystem werden in JAG3D $d$ unabhängige Bedingungsgleichungen eingeführt und die Normalgleichungsmatrix //gerändert//. Die Bedingungsgleichungen leiten sich dabei aus einer differenziellen //Helmert//-Transformation mit //infinitesimalen// Drehwinkeln ab.

$$\mathbf{x^{'}} = \mathbf{x} + \mathbf{Tt}$$

Für den räumlichen Fall ergeben sich

$$
\mathbf{T} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & x &  0 & -z &  y \\
0 & 1 & 0 & y &  z &  0 & -x \\
0 & 0 & 1 & z & -y &  x &  0
\end{pmatrix}
$$

und

$$
\mathbf{t} = \begin{pmatrix}
t_x & t_y & t_z & m & r_x & r_y & r_z
\end{pmatrix}^T
$$

Die Ränderung der Normalgleichung erfolgt über die Bedingungsgleichung $\mathbf{B}^T\mathbf{x}=\mathbf{b}$, indem die zu den Datumspunkten gehörenden Zeilen in $\mathbf{B}$ mit $\mathbf{T}$ besetzt werden. Das entstehende //geränderte// Gleichungssystem lautet

$$
\begin{pmatrix}\mathbf{n} \\ \mathbf{b}\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
\mathbf{N}   & \mathbf{B} \\
\mathbf{B^T} & \mathbf{0}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{\hat x} \\ \mathbf{k}\end{pmatrix}
$$

worin der Widersprüche der Bedingungen $\mathbf{b}=\mathbf{0}$ sind und $\mathbf{k}$ den Korrelatenvektor bezeichnet. Die sich ergebene Kofaktormatix $\mathbf{Q_{\hat x \hat x}}$ besitzt minimale Spur für die Datumspunkte, weshalb im Zusammenhang mit der freien Netzausgleichung häufig von Teil- oder Gesamtspurminimierung gesprochen wird. Strenggenommen kann JAG3D keine Gesamtspurminimierung durchführen auch wenn alle Punkte zur Datumsbildung herangezogen werden, da keine Parameterreduktion für unbekannte Zusatzparameter im Normalgleichungssystem durchgeführt wird.