Java·Applied·Geodesy·3D

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====== Datumsdefekt in der freien Ausgleichung ======


Das //geodätische Datum//, welches die Lagerung, Orientierung und ggf. Skalierung eines Netzes beschreibt, ist allein durch das Einführen von [[least-squares-adjustment:observation#terrestrische_beobachtungen|terrestrischen Beobachtungen]] und relativen [[least-squares-adjustment:observation#gnss-basislinien|GNSS-Basislinien]] nicht definiert. Dies bedeutet, dass Aufgrund des //Datumsdefektes// keine eindeutige Lösung für das Ausgleichungsproblem existiert. Diese Problemstellung tritt immer auf, wenn eine [[least-squares-adjustment:configuration#freie_netzausgleichung|freie Netzausgleichung]] durchgeführt wird, da durch den Datumsdefekt das Normalgleichungssystem einen Rangdefekt aufweist und somit unendlich viele Lösungen besitzt.

===== Typische Netzkonfigurationen und auftretende Defekte =====

In der nachfolgenden Tabelle sind gängige Netzkonfigurationen mit dem auftretenden Datumsdefekt zusammengefasst.

^  Netztyp  ^                                 Beobachtungen                                                          ^ Defekt ^                  freie Datumsparameter                                                                                      ^
^ Höhennetz | Höhenunterschiede                                                                                      |   1    | z-Translation                                                                                  |
^ :::       | Höhenunterschiede mit Maßstabsunbekannte                                                               |   2    | z-Translation und Skalierung                                                                   |
^ Lagenetz  | Strecken und Azimute                                                                                   |   2    | x-Translation, y-Translation                                                                   |
^ :::       | Azimute; Strecken mit Maßstabsunbekannte und Azimute                                                   |   3    | x-Translation, y-Translation und Skalierung                                                    |
^ :::       | Strecken; Strecken und Richtungen                                                                      |   3    | x-Translation, y-Translation und z-Rotation                                                    |
^ :::       | Richtungen; Strecken mit Maßstabsunbekannte; Strecken mit Maßstabsunbekannte und Richtungen            |   4    | x-Translation, y-Translation, z-Rotation und Skalierung                                        |
^ Raumnetz  | Strecken und Azimute                                                                                   |   3    | x-Translation, y-Translation und z-Translation                                                 |
^ :::       | Strecken mit Maßstabsunbekannte und Azimute                                                            |   4    | x-Translation, y-Translation, z-Translation und Skalierung                                     |
^ :::       | Strecken und Richtungen; Strecken und Zenitwinkel; Strecken, Richtungen und Zenitwinkel                |   4    | x-Translation, y-Translation, z-Translation und z-Rotation                                     |
^ :::       | Richtungen und Zenitwinkel; Strecken mit Maßstabsunbekannte und Richtungen/Zenitwinkel                 |   5    | x-Translation, y-Translation, z-Translation, z-Rotation und Skalierung                         |
^ :::       | Strecken                                                                                               |   6    | x-Translation, y-Translation, z-Translation, x-Rotation, y-Rotation und z-Rotation             |
^ :::       | Strecken mit Maßstabsunbekannte                                                                        |   7    | x-Translation, y-Translation, z-Translation, x-Rotation, y-Rotation, z-Rotation und Skalierung |

Durch relative GNSS-Basislinienmessungen können die auftretenden Datumsdefekte bis auf die Translationsparameter verringert werden.


===== Ränderung der Normalgleichung =====

Zur Behebung des Defektes im Normalgleichungssystem werden in JAG3D $d$ unabhängige Bedingungsgleichungen eingeführt und die Normalgleichungsmatrix //gerändert//. Die Bedingungsgleichungen leiten sich dabei aus einer differenziellen //Helmert//-Transformation mit //infinitesimalen// Drehwinkeln ab.

$$\mathbf{x^{'}} = \mathbf{x} + \mathbf{Tt}$$

Für den räumlichen Fall ergeben sich

$$
\mathbf{T} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & x &  0 & -z &  y \\
0 & 1 & 0 & y &  z &  0 & -x \\
0 & 0 & 1 & z & -y &  x &  0
\end{pmatrix}
$$

und

$$
\mathbf{t} = \begin{pmatrix}
t_x & t_y & t_z & m & r_x & r_y & r_z
\end{pmatrix}^T
$$

Die Ränderung der Normalgleichung erfolgt über die Bedingungsgleichung $\mathbf{B}^T\mathbf{x}=\mathbf{b}$, indem die zu den Datumspunkten gehörenden Zeilen in $\mathbf{B}$ mit $\mathbf{T}$ besetzt werden. Das entstehende //geränderte// Gleichungssystem lautet

$$
\begin{pmatrix}\mathbf{n} \\ \mathbf{b}\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
\mathbf{N}   & \mathbf{B} \\
\mathbf{B^T} & \mathbf{0}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{\hat x} \\ \mathbf{k}\end{pmatrix}
$$

worin der Widersprüche der Bedingungen $\mathbf{b}=\mathbf{0}$ sind und $\mathbf{k}$ den Korrelatenvektor bezeichnet. Die sich ergebene Kofaktormatix $\mathbf{Q_{\hat x \hat x}}$ besitzt minimale Spur für die Datumspunkte, weshalb im Zusammenhang mit der freien Netzausgleichung häufig von Teil- oder Gesamtspurminimierung gesprochen wird. Strenggenommen kann JAG3D keine Gesamtspurminimierung durchführen auch wenn alle Punkte zur Datumsbildung herangezogen werden, da keine Parameterreduktion für unbekannte Zusatzparameter im Normalgleichungssystem durchgeführt wird.
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