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--- least-squares-adjustment:observation [2018/03/11 18:58] – Links korrigiert Michael Lösler
+++ least-squares-adjustment:observation [2018/03/11 22:37] – Michael Lösler
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 ^ 3D-Punkt             |           |          |     x       |
-Das [[:least-squares-adjustment#funktionales_modell|funktionale]] und [[:least-squares-adjustment#stochastisches_modell|stochastische]] Modell der einzelnen Beobachtungen soll im Folgenden erläutert werden. Beobachtungen sind immer zwischen zwei Punkten definiert, dem Standpunkt ''P<sub>s</sub>'' und dem Zielpunkt ''P<sub>z</sub>''. Deren Koordinaten seien ''P<sub>s</sub> = [y<sub>s</sub> x<sub>s</sub> z<sub>s</sub>]<sup>T</sup>'' und ''P<sub>z</sub> = [y<sub>z</sub> x<sub>z</sub> z<sub>z</sub>]<sup>T</sup>'', wenn es sich um Raumpunkte handelt. Liegen die Punkte in einer niederen Dimension vor, so sind die entsprechenden Koordinatenkomponenten zu streichen. Mit ''h<sub>s</sub>'' und ''h<sub>z</sub>'' sind die Stand- und Zielpunkthöhe gegeben. Ferner setzt sich das stochastische Modell aus konstanten und entfernungsabhängigen Anteilen zusammen. Die Distanz zur Bestimmung der entfernungsabhängigen Anteile sei mit ''d'' bezeichnet und ''ρ = 200/π'' zur Umrechnung von Radiant in Neugrad.
+Das [[:least-squares-adjustment#funktionales_modell|funktionale]] und [[:least-squares-adjustment#stochastisches_modell|stochastische]] Modell der einzelnen Beobachtungen soll im Folgenden erläutert werden. Beobachtungen sind immer zwischen zwei Punkten definiert, dem Standpunkt $\mathbf{P}_s$ und dem Zielpunkt $\mathbf{P}_z$. Deren Koordinaten seien $\mathbf{P}_s = \begin{pmatrix} y_s & x_s & z_s \end{pmatrix}^T$ und $\mathbf{P}_z = \begin{pmatrix} y_z & x_z & z_z \end{pmatrix}^T$, wenn es sich um Raumpunkte handelt. Liegen die Punkte in einer niederen Dimension vor, so sind die entsprechenden Koordinatenkomponenten zu streichen. Mit $h_s$ und $h_z$ sind die Stand- und Zielpunkthöhen gegeben. Ferner setzt sich das stochastische Modell aus konstanten und entfernungsabhängigen Anteilen zusammen. Die Distanz zur Bestimmung der entfernungsabhängigen Anteile sei mit $d$ bezeichnet.
-JAG3D unterstützt eine integrierte 3D-Netzausgleichung für terrestrische Beobachtungen, Nivellements und GNSS-Beobachtungen. Hierbei berücksichtigt die Software eine mögliche nicht-Parallelität zwischen den Stehachsen der (Stand-)Punkte infolge von vorhandenen Lotabweichungen. Werden die Koordinatendifferenzen zwischen zwei Punkten mit
+JAG3D unterstützt eine integrierte, hybride 3D-Netzausgleichung für terrestrische Beobachtungen, Nivellements und GNSS-Beobachtungen. Hierbei berücksichtigt die Software eine mögliche Nicht-Parallelität zwischen den Stehachsen der (Stand-)Punkte infolge von vorhandenen Lotabweichungen. Werden die Koordinatendifferenzen zwischen zwei Punkten mit
 $$
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 bezeichnet, so ergibt sich die allg. Beobachtungsgleichung
-$$\begin{pmatrix}v\\u\\w\end{pmatrix}=\mathbf{R_s}\begin{pmatrix}\Delta y\\\Delta x\\\Delta z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\h_s\end{pmatrix}+\mathbf{R_sR^T_z}\begin{pmatrix}0\\0\\h_z\end{pmatrix}$$
+$$
+\begin{pmatrix}
+\Delta v\\
+\Delta u\\
+\Delta w
+\end{pmatrix} = \mathbf{R}_s
+\begin{pmatrix}
+\Delta y\\
+\Delta x\\
+\Delta z
+\end{pmatrix} -
+\begin{pmatrix}
+\\
+\\
+h_s
+\end{pmatrix} + \mathbf{R}_s\mathbf{R}^T_z
+\begin{pmatrix}
+\\
+\\
+h_z
+\end{pmatrix}
+$$
-worin zur Modellierung der Lotabweichungen im Standpunkt die Rotationssequenz **''R<sub>s</sub>''** und im Zielpunkt die Rotationssequenz **''R<sub>z</sub>''** eingeführt werden. Die Rotationssequenz für jeden Punkt ergibt sich aus einer kombinierten Drehung um die x und y-Achse
+worin zur Modellierung der Lotabweichungen (bzw. Stehachsrestneigungen) im Standpunkt die Rotationssequenz $\mathbf{R}_s$ und im Zielpunkt die Rotationssequenz $\mathbf{R}_z$ eingeführt werden. Die Rotationssequenz für jeden Punkt ergibt sich aus einer kombinierten Drehung um die $x$ und $y$-Achse
-$$\mathbf{R}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\zeta_x&-\sin\zeta_x\\0&\sin\zeta_x&\cos\zeta_x\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\zeta_y&0&\sin\zeta_y\\0&1&0\\-\sin\zeta_y&0&\cos\zeta_y\\\end{pmatrix}$$
+$$\mathbf{R} =
+\begin{pmatrix}
+& 0 & 0\\
+& \cos\zeta_x & -\sin\zeta_x \\
+& \sin\zeta_x &  \cos\zeta_x \\
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+\cos\zeta_y & 0 & \sin\zeta_y \\
+& 1 & 0 \\
+-\sin\zeta_y & 0 & \cos\zeta_y
+\end{pmatrix}$$
-worin ''ζ<sub>x</sub>'' und ''ζ<sub>y</sub>'' die Drehwinkel zur Beschreibung der Lotabweichungen darstellen.
+worin $\zeta_y$ und $\zeta_x$ die Drehwinkel zur Beschreibung der Lotabweichungen darstellen.
 Das im folgenden aufgeführte stochastische Modell wird herangezogen, wenn //keine// individuellen Genauigkeiten für die einzelnen Beobachtungen vorliegen. In diesem Fall greift der gruppenbasierte Ansatz.
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 Im folgenden werden die terrestrischen Beobachtungsgleichungen, wie sie von JAG3D unterstützt werden, aufgeführt. Neben dem funktionalen Modell wird das stochastische Modell vorgestellt und mögliche Gruppenparameter, die wahlweise als zusätzliche Unbekannte geschätzt werden können, genannt.
-//Hinweis:// Das stochastische Modell setzt sich stets aus einem konstanten und zwei entfernungsabhängigen Anteilen zusammen. Für die entfernungsabhängigen Anteilen muss die Zielweite ''d'' gegeben sein. Sollte ''d'' nicht explizit vorliegen, berechnet JAG3D die Zielweite näherungsweise aus den Näherungskoordinaten. In Abhängigkeit der Güte der Näherungskoordinaten kann das stochastische Modell daher variieren, sodass die explizite Vorgabe der Zielweite empfohlen wird.
+//Hinweis:// Das stochastische Modell setzt sich stets aus einem konstanten und zwei entfernungsabhängigen Anteilen zusammen. Für die entfernungsabhängigen Anteilen muss die Zielweite $d$ gegeben sein. Sollte $d$ nicht explizit vorliegen, berechnet JAG3D die Zielweite näherungsweise aus den Näherungskoordinaten. In Abhängigkeit der Güte der Näherungskoordinaten kann das stochastische Modell daher variieren, sodass die explizite Vorgabe der Zielweite empfohlen wird.
 ==== Nivellement ====
-^ Funktionales Modell   |  $$\delta h = \frac{1} m w$$    |
+^ Funktionales Modell   | $\delta h = \frac{1} m \Delta w$    |
-^ Stochastisches Modell | $$\sigma_{\delta h} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 d + (\sigma_c d)^2}$$    |
+^ Stochastisches Modell | $\sigma_{\delta h} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 d + (\sigma_c d)^2}$    |
 ^ Punktdimension | 1D, 3D  |
-^ Zusatzparameter | Maßstab ''m''  |
+^ Zusatzparameter | Maßstab $m$  |
-^ Einheit | Meter [m]  |
-(Bemerkung: ''d'' Nivellementsweg in [km])
 ==== Richtung/Azimut ====
-^ Funktionales Modell   |  $$t = \arctan2{ \left ( v, u \right )} \rho - o$$    |
+^ Funktionales Modell   | $t = \arctan2{ \left ( \Delta v, \Delta u \right )} - o$    |
-^ Stochastisches Modell | $$\sigma_t = \sqrt{\sigma_a^2 + \left(\frac{\sigma_b} {\sqrt d} \rho \right)^2 + \left(\frac{\sigma_c} d \rho \right)^2 } $$    |
+^ Stochastisches Modell | $\sigma_t = \sqrt{\sigma_a^2 + \left(\frac{\sigma_b} {\sqrt d} \right)^2 + \left(\frac{\sigma_c} d \right)^2 } $   |
 ^ Punktdimension | 2D, 3D  |
 ^ Zusatzparameter | Orientierung ''o'' |
-^ Einheit | Neugrad [gon]  |
 (Bemerkung: Bei Azimuten entfällt unter Umständen ''o'')
 ==== Horizontale Strecke ====
-^ Funktionales Modell   |  $$s_{2D} = \frac{1} m  \left(\sqrt{ v^2 + u^2}- a \right)$$    |
+^ Funktionales Modell   | $s_{2D} = \frac{1} m  \left(\sqrt{ \Delta v^2 + \Delta u^2}- a \right)$    |
-^ Stochastisches Modell | $$\sigma_{s_{2D}} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 d + \sigma_c^2 d^2} $$    |
+^ Stochastisches Modell | $\sigma_{s_{2D}} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 d + \sigma_c^2 d^2} $    |
 ^ Punktdimension | 2D, 3D  |
-^ Zusatzparameter | Maßstab ''m'', Additionskonstante ''a'' |
+^ Zusatzparameter | Maßstab $m$, Nullpunktabweichung $a$ |
-^ Einheit | Meter [m]  |
-(Bemerkung: ''d'' Distanz in [m])
 ==== Schrägstrecke ====
-^ Funktionales Modell   |  $$s_{3D} = \frac{1} m  \left(\sqrt{ v^2 + u^2 + w^2}- a \right)$$    |
+^ Funktionales Modell   | $s_{3D} = \frac{1} m  \left(\sqrt{ \Delta v^2 + \Delta u^2 + \Delta w^2}- a \right)$    |
-^ Stochastisches Modell | $$\sigma_{s_{3D}} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 d + \sigma_c^2 d^2} $$    |
+^ Stochastisches Modell | $\sigma_{s_{3D}} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 d + \sigma_c^2 d^2} $    |
 ^ Punktdimension | 3D  |
-^ Zusatzparameter | Maßstab ''m'', Additionskonstante ''a'' |
+^ Zusatzparameter | Maßstab $m$, Nullpunktabweichung $a$ |
-^ Einheit | Meter [m]  |
-(Bemerkung: ''d'' Distanz in [m])
 ==== Zenitwinkel ====
-^ Funktionales Modell   |  $$z = \arctan{ \frac{\sqrt{ v^2 + u^2}} {w}} - k \frac{s_{2D}} {2R} \rho$$    |
+^ Funktionales Modell   | $z = \arctan{ \frac{\sqrt{ \Delta v^2 + \Delta u^2}} {\Delta w}} - k \frac{s_{2D}} {2R} $    |
-^ Stochastisches Modell | $$\sigma_z = \sqrt{\sigma_a^2 + \left(\frac{\sigma_b} {\sqrt d} \rho \right)^2 + \left(\frac{\sigma_c} d \rho \right)^2} $$    |
+^ Stochastisches Modell | $\sigma_z = \sqrt{\sigma_a^2 + \left(\frac{\sigma_b} {\sqrt d} \right)^2 + \left(\frac{\sigma_c} d \right)^2} $   |
 ^ Punktdimension | 3D  |
-^ Zusatzparameter | Refraktionskoeffizient ''k'' |
+^ Zusatzparameter | Refraktionskoeffizient $k$ |
-^ Einheit | Neugrad [gon]  |
+(Bemerkung: $R = 6371~\rm{km}$ entspricht dem mittleren Erdradius)
-(Bemerkung: ''R = 6371km'' entspricht dem mittleren Erdradius)
 ===== GNSS-Basislinien =====
-Im Gegensatz zu den terrestrischen Beobachtungen, bei denen zwischen den Punkten ''P<sub>s</sub>'' und ''P<sub>z</sub>'' ein einziger Messwert vorliegt, wird die GNSS-Basislinie in Abhängigkeit der Dimension in eine ''b<sub>1D</sub> = [δz]<sup>T</sup>'', zwei ''b<sub>2D</sub> = [δy δx]<sup>T</sup>'' oder drei ''b<sub>3D</sub> = [δy δx δz]<sup>T</sup>'' Vektorkomponenten aufgesplittet.
+Im Gegensatz zu den terrestrischen Beobachtungen, bei denen zwischen den Punkten $\mathbf{P}_s$ und $\mathbf{P}_z$ ein einziger Messwert vorliegt, wird die GNSS-Basislinie in Abhängigkeit der Dimension in eine $\mathbf{b}_{1D} = \begin{pmatrix} \delta z \end{pmatrix}^T$, zwei $\mathbf{b}_{2D} = \begin{pmatrix} \delta y & \delta x \end{pmatrix}^T$ oder drei $\mathbf{b}_{3D} = \begin{pmatrix} \delta y & \delta x & \delta z \end{pmatrix}^T$ Vektorkomponenten aufgesplittet. Der Abstand $d$ zur Bildung des entfernungsabhängigen Anteils im stochastischen Modell entspricht hierbei der zugehörigen Basislinenvektorkomponente.
 ==== 1D-Basislinien ====
-^ Funktionales Modell   |  $$\mathbf{b_{1D}} = \delta z = m\mathbf{R} \begin{pmatrix} y_z-y_s \\ x_z-x_s \\ z_z-z_s \end{pmatrix} $$    |
+^ Funktionales Modell   | $\mathbf{b_{1D}} = \delta z = m\mathbf{R} \begin{pmatrix} y_z-y_s \\ x_z-x_s \\ z_z-z_s \end{pmatrix} $    |
-^ Stochastisches Modell | $$\sigma_{\delta z} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 \delta z + \sigma_c^2 \delta z^2}$$   |
+^ Stochastisches Modell | $\sigma_{\delta z} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 d + \sigma_c^2 d^2}$   |
 ^ Punktdimension | 1D, 3D  |
-^ Zusatzparameter | Maßstab ''m'', 2 Drehwinkel in Matrix ''R''  |
+^ Zusatzparameter | Maßstab $m$, 2 Drehwinkel in Matrix $\mathbf{R}$  |
-^ Einheit | Meter [m]  |
+(Bemerkung: Bei 1D-Punkten müssen die $x$ und $y$-Koordinaten nur genähert bekannt sein.)
-(Bemerkung: Bei 1D-Punkten müssen die ''x'' und ''y''-Koordinaten nur genähert bekannt sein.)
 ==== 2D-Basislinien ====
-^ Funktionales Modell   |  $$\mathbf{b_{2D}} = \begin{pmatrix} \delta y \\ \delta x \end{pmatrix} = m\mathbf{R} \begin{pmatrix} y_z-y_s \\ x_z-x_s \end{pmatrix} $$    |
+^ Funktionales Modell   | $\mathbf{b_{2D}} = \begin{pmatrix} \delta y \\ \delta x \end{pmatrix} = m\mathbf{R} \begin{pmatrix} y_z-y_s \\ x_z-x_s \end{pmatrix} $    |
-^ Stochastisches Modell | $$\mathbf{C_b} = \begin{pmatrix} \sigma_{\delta y}^2 & 0  \\ 0 & \sigma_{\delta x}^2 \end{pmatrix}$$ mit $\sigma_{\delta} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 \delta + \sigma_c^2 \delta^2}$ |
+^ Stochastisches Modell | $\mathbf{C_b} = \begin{pmatrix} \sigma_{\delta y}^2 & 0  \\ 0 & \sigma_{\delta x}^2 \end{pmatrix}$ worin $\sigma_{\delta} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 d + \sigma_c^2 d^2}$ |
-^ Punktdimension | 2D, 3D  |
+^ Punktdimension  | 2D, 3D  |
-^ Zusatzparameter | Maßstab ''m'', Drehwinkel in Matrix ''R''  |
+^ Zusatzparameter | Maßstab $m$, Drehwinkel in Matrix $\mathbf{R}$  |
-^ Einheit | Meter [m]  |
 ==== 3D-Basislinien ====
-^ Funktionales Modell   |  $$\mathbf{b_{3D}} = \begin{pmatrix} \delta y \\ \delta x \\ \delta z \end{pmatrix} = m\mathbf{R} \begin{pmatrix} y_z-y_s \\ x_z-x_s \\ z_z-z_s \end{pmatrix} $$    |
+^ Funktionales Modell   | $\mathbf{b_{3D}} = \begin{pmatrix} \delta y \\ \delta x \\ \delta z \end{pmatrix} = m\mathbf{R} \begin{pmatrix} y_z-y_s \\ x_z-x_s \\ z_z-z_s \end{pmatrix} $    |
-^ Stochastisches Modell | $$\mathbf{C_b} = \begin{pmatrix} \sigma_{\delta y}^2 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{\delta x}^2 & 0 \\ 0 & 0 &\sigma_{\delta z}^2 \end{pmatrix}$$ mit $\sigma_{\delta} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 \delta + \sigma_c^2 \delta^2}$ |
+^ Stochastisches Modell | $\mathbf{C_b} = \begin{pmatrix} \sigma_{\delta y}^2 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{\delta x}^2 & 0 \\ 0 & 0 &\sigma_{\delta z}^2 \end{pmatrix}$ worin $\sigma_{\delta} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 d + \sigma_c^2 d^2}$ |
 ^ Punktdimension | 3D  |
-^ Zusatzparameter | Maßstab ''m'', 3 Drehwinkel in Matrix ''R''  |
+^ Zusatzparameter | Maßstab $m$, 3 Drehwinkel in Matrix $\mathbf{R}$  |
-^ Einheit | Meter [m]  |
 ===== Punktbeobachtungen =====
-Im Rahmen einer weichen Lagerung bzw. dynamischen Ausgleichung werden den Anschlußpunkten Unsicherheitsbeiträge zugestanden. Dies erscheint insofern gerechtfertigt, da die Punkte, mit denen der Netzanschluß zu realisieren ist, aus vorherigen Messungen stammen und somit für jeden Punkt neben der Koordinate selbst eine Unsicherheit vorliegt. Die Matrix ''**I**'' bezeichnet im Folgenden eine Einheitsmatrix.
+Im Rahmen einer weichen Lagerung bzw. dynamischen Ausgleichung werden den stochastischen Anschlußpunkten Unsicherheitsbeiträge zugestanden. Dies erscheint insofern gerechtfertigt, da die Punkte, mit denen der Netzanschluß zu realisieren ist, aus vorherigen Messungen stammen und somit für jeden Punkt neben der Koordinate selbst eine Unsicherheit vorliegt. Die Matrix $\mathbf{I}$ bezeichnet im Folgenden eine Einheitsmatrix.
 ==== 1D-Punkt ====
-^ Funktionales Modell   | $$\mathbf{P_{1D}} = z = \mathbf{I} z$$     |
+^ Funktionales Modell   | $\mathbf{P_{1D}} = z = \mathbf{I} z$     |
-^ Stochastisches Modell | $$\mathbf{C_P} = \sigma_z^2$$   |
+^ Stochastisches Modell | $\mathbf{C_P} = \sigma_z^2$   |
 ^ Punktdimension | 1D  |
-^ Einheit | Meter [m]  |
 ==== 2D-Punkt ====
-^ Funktionales Modell   | $$\mathbf{P_{2D}} = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} = \mathbf{I} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} $$      |
+^ Funktionales Modell   | $\mathbf{P_{2D}} = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} = \mathbf{I} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} $      |
-^ Stochastisches Modell | $$\mathbf{C_P} = \begin{pmatrix} \sigma_y^2 & 0  \\ 0 & \sigma_x^2 \end{pmatrix}$$   |
+^ Stochastisches Modell | $\mathbf{C_P} = \begin{pmatrix} \sigma_y^2 & 0  \\ 0 & \sigma_x^2 \end{pmatrix}$   |
 ^ Punktdimension | 2D  |
-^ Einheit | Meter [m]  |
 ==== 3D-Punkt ====
-^ Funktionales Modell   | $$\mathbf{P_{3D}} = \begin{pmatrix} y \\ x \\ z \end{pmatrix} = \mathbf{I} \begin{pmatrix} y \\ x \\ z \end{pmatrix} $$      |
+^ Funktionales Modell   | $\mathbf{P_{3D}} = \begin{pmatrix} y \\ x \\ z \end{pmatrix} = \mathbf{I} \begin{pmatrix} y \\ x \\ z \end{pmatrix} $      |
-^ Stochastisches Modell | $$\mathbf{C_P} = \begin{pmatrix} \sigma_y^2 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_x^2 & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_z^2 \end{pmatrix}$$   |
+^ Stochastisches Modell | $\mathbf{C_P} = \begin{pmatrix} \sigma_y^2 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_x^2 & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_z^2 \end{pmatrix}$   |
 ^ Punktdimension | 3D  |
-^ Einheit | Meter [m]  |