least-squares-adjustment:observation
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least-squares-adjustment:observation [2018/03/11 18:58] – Links korrigiert Michael Lösler | least-squares-adjustment:observation [2022/11/30 14:06] (aktuell) – Michael Lösler | ||
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^ 2D-Punkt | ^ 2D-Punkt | ||
^ 3D-Punkt | ^ 3D-Punkt | ||
+ | ^ Lotabweichungen | ||
- | Das [[: | + | Das [[: |
- | JAG3D unterstützt eine integrierte 3D-Netzausgleichung für terrestrische Beobachtungen, | + | < |
+ | {{: | ||
+ | < | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | JAG3D unterstützt eine integrierte, hybride | ||
+ | Abbildung {{ref> | ||
+ | |||
+ | Werden die Koordinatendifferenzen zwischen zwei Punkten mit | ||
$$ | $$ | ||
\begin{pmatrix} | \begin{pmatrix} | ||
- | \Delta y \\ | ||
\Delta x \\ | \Delta x \\ | ||
+ | \Delta y \\ | ||
\Delta z \\ | \Delta z \\ | ||
\end{pmatrix} = | \end{pmatrix} = | ||
\begin{pmatrix} | \begin{pmatrix} | ||
- | y_z - y_s \\ | ||
x_z - x_s \\ | x_z - x_s \\ | ||
+ | y_z - y_s \\ | ||
z_z - z_s \\ | z_z - z_s \\ | ||
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
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bezeichnet, so ergibt sich die allg. Beobachtungsgleichung | bezeichnet, so ergibt sich die allg. Beobachtungsgleichung | ||
- | $$\begin{pmatrix}v\\u\\w\end{pmatrix}=\mathbf{R_s}\begin{pmatrix}\Delta | + | $$ |
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | \Delta u\\ | ||
+ | \Delta v\\ | ||
+ | \Delta | ||
+ | \end{pmatrix} = \mathbf{R}_s | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | \Delta | ||
+ | \Delta | ||
+ | \Delta z | ||
+ | \end{pmatrix} - | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | 0\\ | ||
+ | 0\\ | ||
+ | ih | ||
+ | \end{pmatrix} + \mathbf{R}_s\mathbf{R}^{\mathrm{T}}_z | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | 0\\ | ||
+ | 0\\ | ||
+ | th | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | $$ | ||
- | worin zur Modellierung der Lotabweichungen im Standpunkt die Rotationssequenz | + | worin zur Modellierung der Lotabweichungen |
- | $$\mathbf{R}=\begin{pmatrix}1& | + | $$\mathbf{R} = |
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & 0 & 0\\ | ||
+ | 0 & \cos\zeta_x & -\sin\zeta_x \\ | ||
+ | 0 & \sin\zeta_x & \cos\zeta_x \\ | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | \cos\zeta_y & 0 & \sin\zeta_y \\ | ||
+ | 0 & 1 & 0 \\ | ||
+ | -\sin\zeta_y & 0 & \cos\zeta_y | ||
+ | \end{pmatrix}$$ | ||
- | worin '' | + | Hierin stellen $\zeta_x$ und $\zeta_y$ die Drehwinkel zur Beschreibung der Lotabweichungen (bzw. Stehachsrestneigungen) dar. |
+ | |||
+ | Das gemeinsame Datum kann durch einen Fundamentalpunkt (Principal Point) $\mathbf{P}_0$ definiert werden. | ||
+ | In diesem Fall sind für $\mathbf{P}_0$ die globalen geographischen Koordinaten $\lambda_0$ und $\phi_0$ vorzugeben, sodass die resultierende Ellipsoidnormale das lokale (tangentiale) Koordinatensystem in $\begin{pmatrix}x_0 & y_0 & z_0\end{pmatrix}^{\mathrm{T}}$ definiert, welches durch $N_0 + h_0$ ggf. noch entlang dieses Normalenvektors zu verschieben ist, siehe Abbildung {{ref> | ||
+ | |||
+ | Die $xyz$-Koordinaten in diesem Datum können durch die bekannte [[https:// | ||
+ | |||
+ | $$\begin{pmatrix}y_i \\ x_i \\ z_i\end{pmatrix} = | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | y_0 \\ | ||
+ | x_0 \\ | ||
+ | z_0 | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | + | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | -\sin\lambda_0 & \cos\lambda_0 | ||
+ | -\sin\phi_0\cos\lambda_0 & -\sin\phi_0\sin\lambda_0 & \cos\phi_0 \\ | ||
+ | | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | X_i - X_0 \\ | ||
+ | Y_i - Y_0 \\ | ||
+ | Z_i - Z_0 | ||
+ | \end{pmatrix}$$ | ||
+ | |||
+ | <figure|jag3d_local_ellipsoidal_Earth_model|fright> | ||
+ | {{: | ||
+ | <caption>Lokales ellipsoidisches Erdmodell definiert in $\mathbf{P}_0$</caption> | ||
+ | </figure> | ||
+ | |||
+ | ermittelt werden. Hierin sind $\mathbf{P}^{\mathrm{T}}_i = \begin{pmatrix}X & Y & Z\end{pmatrix}$ | ||
+ | Die beiden Winkel $\zeta_{x, | ||
+ | |||
+ | Wird ein lokales ellipsoidisches Koordinatensystem verwendet und zusätzlich $\zeta_{x, | ||
- | Das im folgenden aufgeführte stochastische Modell wird herangezogen, | ||
===== Terrestrische Beobachtungen ===== | ===== Terrestrische Beobachtungen ===== | ||
- | Im folgenden | + | Im Folgenden |
- | // | + | // |
==== Nivellement ==== | ==== Nivellement ==== | ||
- | ^ Funktionales Modell | + | ^ Funktionales Modell |
- | ^ Stochastisches Modell | $$\sigma_{\delta h} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 d + (\sigma_c d)^2}$$ | | + | ^ Stochastisches Modell | $\sigma_{\delta h} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 d + (\sigma_c d)^2}$ |
^ Punktdimension | 1D, 3D | | ^ Punktdimension | 1D, 3D | | ||
- | ^ Zusatzparameter | Maßstab | + | ^ Zusatzparameter | Maßstab |
- | ^ Einheit | Meter [m] | | + | |
- | (Bemerkung: | + | (Bemerkung: |
==== Richtung/ | ==== Richtung/ | ||
- | ^ Funktionales Modell | + | ^ Funktionales Modell |
- | ^ Stochastisches Modell | $$\sigma_t = \sqrt{\sigma_a^2 + \left(\frac{\sigma_b} {\sqrt d} \rho \right)^2 + \left(\frac{\sigma_c} d \rho \right)^2 } $$ | + | ^ Stochastisches Modell | $\sigma_t = \sqrt{\sigma_a^2 + \left(\frac{\sigma_b} {\sqrt d} \right)^2 + \left(\frac{\sigma_c} d \right)^2 } $ |
^ Punktdimension | 2D, 3D | | ^ Punktdimension | 2D, 3D | | ||
- | ^ Zusatzparameter | Orientierung | + | ^ Zusatzparameter | Orientierung |
- | ^ Einheit | Neugrad [gon] | + | (Bemerkung: Bei Azimuten entfällt unter Umständen |
- | (Bemerkung: Bei Azimuten entfällt unter Umständen | + | |
==== Horizontale Strecke ==== | ==== Horizontale Strecke ==== | ||
- | ^ Funktionales Modell | + | ^ Funktionales Modell |
- | ^ Stochastisches Modell | $$\sigma_{s_{2D}} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 d + \sigma_c^2 d^2} $$ | | + | ^ Stochastisches Modell | $\sigma_{s_{2D}} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 d + \sigma_c^2 d^2} $ | |
^ Punktdimension | 2D, 3D | | ^ Punktdimension | 2D, 3D | | ||
- | ^ Zusatzparameter | Maßstab | + | ^ Zusatzparameter | Maßstab |
- | ^ Einheit | Meter [m] | | + | |
- | (Bemerkung: '' | + | |
==== Schrägstrecke ==== | ==== Schrägstrecke ==== | ||
- | ^ Funktionales Modell | + | ^ Funktionales Modell |
- | ^ Stochastisches Modell | $$\sigma_{s_{3D}} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 d + \sigma_c^2 d^2} $$ | | + | ^ Stochastisches Modell | $\sigma_{s_{3D}} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 d + \sigma_c^2 d^2} $ | |
^ Punktdimension | 3D | | ^ Punktdimension | 3D | | ||
- | ^ Zusatzparameter | Maßstab | + | ^ Zusatzparameter | Maßstab |
- | ^ Einheit | Meter [m] | | + | |
- | (Bemerkung: '' | + | |
==== Zenitwinkel ==== | ==== Zenitwinkel ==== | ||
- | ^ Funktionales Modell | + | ^ Funktionales Modell |
- | ^ Stochastisches Modell | $$\sigma_z = \sqrt{\sigma_a^2 + \left(\frac{\sigma_b} {\sqrt d} \rho \right)^2 + \left(\frac{\sigma_c} d \rho \right)^2} $$ | + | ^ Stochastisches Modell | $\sigma_z = \sqrt{\sigma_a^2 + \left(\frac{\sigma_b} {\sqrt d} \right)^2 + \left(\frac{\sigma_c} d \right)^2} $ |
^ Punktdimension | 3D | | ^ Punktdimension | 3D | | ||
- | ^ Zusatzparameter | Refraktionskoeffizient | + | ^ Zusatzparameter | Refraktionskoeffizient |
- | ^ Einheit | Neugrad [gon] | + | (Bemerkung: |
- | (Bemerkung: | + | |
===== GNSS-Basislinien ===== | ===== GNSS-Basislinien ===== | ||
- | Im Gegensatz zu den terrestrischen Beobachtungen, | + | Im Gegensatz zu den terrestrischen Beobachtungen, |
==== 1D-Basislinien ==== | ==== 1D-Basislinien ==== | ||
- | ^ Funktionales Modell | + | ^ Funktionales Modell |
- | ^ Stochastisches Modell | $$\sigma_{\delta z} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 | + | ^ Stochastisches Modell | $\sigma_{\delta z} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 |
^ Punktdimension | 1D, 3D | | ^ Punktdimension | 1D, 3D | | ||
- | ^ Zusatzparameter | Maßstab | + | ^ Zusatzparameter | Maßstab |
- | ^ Einheit | Meter [m] | | + | (Bemerkung: Bei 1D-Punkten müssen die $x$ und $y$-Koordinaten nur genähert bekannt sein.) |
- | (Bemerkung: Bei 1D-Punkten müssen die '' | + | |
==== 2D-Basislinien ==== | ==== 2D-Basislinien ==== | ||
- | ^ Funktionales Modell | + | ^ Funktionales Modell |
- | ^ Stochastisches Modell | $$\mathbf{C_b} = \begin{pmatrix} \sigma_{\delta | + | ^ Stochastisches Modell | $\mathbf{C_b} = \begin{pmatrix} \sigma_{\delta |
- | ^ Punktdimension | 2D, 3D | | + | ^ Punktdimension |
- | ^ Zusatzparameter | Maßstab | + | ^ Zusatzparameter | Maßstab |
- | ^ Einheit | Meter [m] | | + | |
==== 3D-Basislinien ==== | ==== 3D-Basislinien ==== | ||
- | ^ Funktionales Modell | + | ^ Funktionales Modell |
- | ^ Stochastisches Modell | $$\mathbf{C_b} = \begin{pmatrix} \sigma_{\delta | + | ^ Stochastisches Modell | $\mathbf{C_b} = \begin{pmatrix} \sigma_{\delta |
^ Punktdimension | 3D | | ^ Punktdimension | 3D | | ||
- | ^ Zusatzparameter | Maßstab | + | ^ Zusatzparameter | Maßstab |
- | ^ Einheit | Meter [m] | | + | |
===== Punktbeobachtungen ===== | ===== Punktbeobachtungen ===== | ||
- | Im Rahmen einer weichen Lagerung bzw. dynamischen Ausgleichung werden den Anschlußpunkten Unsicherheitsbeiträge zugestanden. Dies erscheint insofern gerechtfertigt, | + | Im Rahmen einer weichen Lagerung bzw. dynamischen Ausgleichung werden den stochastischen |
==== 1D-Punkt ==== | ==== 1D-Punkt ==== | ||
- | ^ Funktionales Modell | + | ^ Funktionales Modell |
- | ^ Stochastisches Modell | $$\mathbf{C_P} = \sigma_z^2$$ | | + | ^ Stochastisches Modell | $\mathbf{C_P} = \sigma_z^2$ |
^ Punktdimension | 1D | | ^ Punktdimension | 1D | | ||
- | ^ Einheit | Meter [m] | | + | |
==== 2D-Punkt ==== | ==== 2D-Punkt ==== | ||
- | ^ Funktionales Modell | + | ^ Funktionales Modell |
- | ^ Stochastisches Modell | $$\mathbf{C_P} = \begin{pmatrix} \sigma_y^2 & 0 \\ 0 & \sigma_x^2 \end{pmatrix}$$ | | + | ^ Stochastisches Modell | $\mathbf{C_P} = \begin{pmatrix} \sigma_x^2 & 0 \\ 0 & \sigma_y^2 \end{pmatrix}$ |
^ Punktdimension | 2D | | ^ Punktdimension | 2D | | ||
- | ^ Einheit | Meter [m] | | ||
==== 3D-Punkt ==== | ==== 3D-Punkt ==== | ||
- | ^ Funktionales Modell | + | ^ Funktionales Modell |
- | ^ Stochastisches Modell | $$\mathbf{C_P} = \begin{pmatrix} \sigma_y^2 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_x^2 & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_z^2 \end{pmatrix}$$ | | + | ^ Stochastisches Modell | $\mathbf{C_P} = \begin{pmatrix} \sigma_x^2 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_y^2 & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_z^2 \end{pmatrix}$ |
^ Punktdimension | 3D | | ^ Punktdimension | 3D | | ||
- | ^ Einheit | + | |
+ | |||
+ | ===== Lotabweichung bzw. Stehachsrestneigung ===== | ||
+ | |||
+ | Bei räumlichen Präzisionsnetzen oder Netzen mit großer Ausdehnung ist die Annahme von parallelen Lotrichtungen für alle (Stand-)Punkte häufig nicht zutreffend. Hier empfiehlt es sich, zusätzliche Parameter zur Kompensation der Lotabweichung bzw. Stehachsrestneigung ins Ausgleichungsmodell zu integrieren. Neben der Berücksichtigung von klassischen terrestrischen Instrumenten wie bspw. Tachymetern können durch die integrierte, | ||
+ | |||
+ | ^ Funktionales Modell | ||
+ | ^ Stochastisches Modell | $\mathbf{C_\zeta} = \begin{pmatrix} \sigma_{\zeta_x}^2 & 0 \\ 0 & \sigma_{\zeta_y}^2 \end{pmatrix}$ |
least-squares-adjustment/observation.txt · Zuletzt geändert: 2022/11/30 14:06 von Michael Lösler