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Least-Squares Adjustment Software for Geodetic Sciences

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least-squares-adjustment:observation

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least-squares-adjustment:observation [2021/06/19 15:30] – [Beobachtungen] Michael Löslerleast-squares-adjustment:observation [2021/12/14 10:50] – Lotabweichungen Xi und Eta vs, ZetaX und ZetaY Michael Lösler
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 <figure|jag3d_deflection_of_the_verticals|fright> <figure|jag3d_deflection_of_the_verticals|fright>
-{{:least-squares-adjustment:jag3d_deflection_of_the_verticals.png?nolink|Lokales sphärisches Erdmodell (Kugelmodell) zur Berücksichtigung von Lotabweichungen (bzw. Stehachsrestneigungen)}} +{{:least-squares-adjustment:jag3d_deflection_of_the_verticals.png?nolink|Beziehungen zwischen einem lokalen Standpunktsystem und dem globalen Datum}} 
-<caption>Lokales sphärisches Erdmodell (Kugelmodell)</caption>+<caption>Zusammenhang zwischen Datum und Standpunktsystem</caption>
 </figure> </figure>
  
 JAG3D unterstützt eine integrierte, hybride 3D-Netzausgleichung für terrestrische Beobachtungen, Nivellements und GNSS-Beobachtungen. Hierbei berücksichtigt die Software eine mögliche Nichtparallelität zwischen den Stehachsen der (Stand-)Punkte infolge von vorhandenen Lotabweichungen (bzw. Stehachsrestneigungen).  JAG3D unterstützt eine integrierte, hybride 3D-Netzausgleichung für terrestrische Beobachtungen, Nivellements und GNSS-Beobachtungen. Hierbei berücksichtigt die Software eine mögliche Nichtparallelität zwischen den Stehachsen der (Stand-)Punkte infolge von vorhandenen Lotabweichungen (bzw. Stehachsrestneigungen). 
-Abbildung {{ref>jag3d_deflection_of_the_verticals}} zeigt schematisch das lokale sphärische Erdmodell (Kugelmodell), sowie die Beziehungen zwischen dem einheitlich gewählten Datum, dem $x,y,z$-System, und dem jeweils lokalen $u,v,w$-System im Instrumentenstandpunkt. Werden die Koordinatendifferenzen zwischen zwei Punkten mit+Abbildung {{ref>jag3d_deflection_of_the_verticals}} zeigt schematisch den Zusammenhangzwischen dem einheitlich gewählten Datum, dem $x,y,z$-System, und dem jeweils lokalen $u,v,w$-System im Instrumentenstandpunkt.  
 + 
 +Werden die Koordinatendifferenzen zwischen zwei Punkten mit
  
 $$ $$
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 \end{pmatrix}$$ \end{pmatrix}$$
  
-worin $\zeta_x$ und $\zeta_y$ die Drehwinkel zur Beschreibung der Lotabweichungen (bzw. Stehachsrestneigungen) darstellenWird die Erde durch eine Kugel approximiert, so lassen sich die Lotabweichungen über die Bogenformel approximieren,+Hierin stellen $\zeta_x$ und $\zeta_y$ die Drehwinkel zur Beschreibung der Lotabweichungen (bzw. Stehachsrestneigungen) dar
  
-$$\zeta_x = \frac{y - y_0}{R + h_0 - z_0}$$+Das gemeinsame Datum kann durch einen Fundamentalpunkt (Principal Point) $\mathbf{P}_0$ definiert werden.  
 +In diesem Fall sind für $\mathbf{P}_0die globalen geographischen Koordinaten $\lambda_0$ und $\phi_0$ vorzugeben, sodass die resultierende Ellipsoidnormale das lokale (tangentiale) Koordinatensystem definiert, welches durch $h_0$ ggf. noch entlang dieses Normalenvektors zu verschieben ist, siehe Abbildung {{ref>jag3d_local_ellipsoidal_Earth_model}}.
  
-bzw.+Die $xyz$-Koordinaten in diesem Datum können durch die bekannte [[https://en.wikipedia.org/wiki/Geographic_coordinate_conversion#From_ECEF_to_ENU|Umformung]] 
 + 
 +$$\begin{pmatrix}y_i \\ x_i \\ z_i\end{pmatrix} = 
 +  \begin{pmatrix} 
 +    -\sin\lambda_0 &            \cos\lambda_0           &         0 \\ 
 +    -\sin\phi_0\cos\lambda_0 & -\sin\phi_0\sin\lambda_0 & \cos\phi_0 \\ 
 +     \cos\phi_0\cos\lambda_0 &  \cos\phi_0\sin\lambda_0 & \sin\phi_0 
 +  \end{pmatrix} 
 +  \begin{pmatrix} 
 +    X_i - X_0 \\ 
 +    Y_i - Y_0 \\ 
 +    Z_i - Z_0 
 +  \end{pmatrix}$$ 
 +   
 +<figure|jag3d_local_ellipsoidal_Earth_model|fright> 
 +{{:least-squares-adjustment:jag3d_local_ellipsoidal_earth_model.png?nolink|Lokales ellipsoidisches Erdmodell zur Berücksichtigung von Lotabweichungen, definiert im Fundamentalpunkt P0}} 
 +<caption>Lokales ellipsoidisches Erdmodell definiert in $\mathbf{P}_0$</caption> 
 +</figure>
  
-$$\zeta_y -\frac{x - x_0}{R + h_0 z_0}$$+ermittelt werden. Hierin sind $\mathbf{P}^{\mathrm{T}}_i = \begin{pmatrix}X & Y & Z\end{pmatrix}$ die globalen (geozentrischen) Koordinaten und $\begin{pmatrix}& y & z\end{pmatrix}^{\mathrm{T}}$ die korrespondierenden lokalen Koordinaten des $i$-ten Punktes $\mathbf{P}_i$. 
 +Die beiden Winkel $\zeta_{x,i}$ und $\zeta_{y,i}$ beschreiben somit in diesem Koordinatensystem die Abweichungen zwischen der durch $\mathbf{P}_0$ definierten (lokalen) $z$-Achse und der jeweiligen Ellipsoidnormalen von $\mathbf{P}_i$. Für $\mathbf{P}_imüssen keine globalen geographischen Koordinaten bereitgestellt werden, da diese sich aus der inversen Umformung direkt ergeben.
  
-Hierbei beschreibt $\mathbf{P}_0 = \begin{pmatrix} x_0 & y_0 & z_0 \end{pmatrix}^{\mathrm{T}}$ den Fundamentalpunkt (Pivotpunkt), $R$ den Erdradius und $h_0die Höhe des Fundamentalpunktes über der Erdkugel+Wird ein lokales ellipsoidisches Koordinatensystem verwendet und zusätzlich $\zeta_{x,i}$ und $\zeta_{y,i}$ vorgegeben, so werden die theoretischen Winkel mit den vorgegebenen Winkeln akkumuliert in der Ausgleichung. Hierdurch ist es möglichLotabweichungen in der Ausgleichung zu berücksichtigen, die die Abweichungen zwischen den Ellipsoidnormalen und den jeweiligen lokalen Lotrichtungen beschreiben. Bitte beachte, dass die in der Erdmessung gebräuchlichen Lotabweichungsparameter $\xiund $\eta$ gegenüber den beiden Winkeln $\zeta_x$ und $\zeta_y$ einen anderen Drehsinn aufweisen. Es gilt $\zeta_x = \eta$ und $\zeta_y = -\xi$.
  
 Das im Folgenden aufgeführte stochastische Modell wird herangezogen, wenn //keine// individuellen Genauigkeiten für die einzelnen Beobachtungen vorliegen. In diesem Fall greift der gruppenbasierte Ansatz. Das im Folgenden aufgeführte stochastische Modell wird herangezogen, wenn //keine// individuellen Genauigkeiten für die einzelnen Beobachtungen vorliegen. In diesem Fall greift der gruppenbasierte Ansatz.
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 ^ Punktdimension | 3D  | ^ Punktdimension | 3D  |
 ^ Zusatzparameter | Refraktionskoeffizient $k$ | ^ Zusatzparameter | Refraktionskoeffizient $k$ |
-(Bemerkung: $R = 6371~\rm{km}$ entspricht dem mittleren Erdradius)+(Bemerkung: $R$ entspricht dem Erdradius an der geographischen Breite $\phi_0$ von $\mathbf{P}_0$)
  
 ===== GNSS-Basislinien ===== ===== GNSS-Basislinien =====
least-squares-adjustment/observation.txt · Zuletzt geändert: 2022/11/30 14:06 von Michael Lösler