Unterschiede

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--- least-squares-adjustment:observation [2021/06/19 15:43] – [Beobachtungen] Michael Lösler
+++ least-squares-adjustment:observation [2021/12/14 13:37] – Erläuterung zum stochastischen Modell Michael Lösler
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 \end{pmatrix}$$
-<figure|jag3d_local_spherical_Earth_model|fright>
+Hierin stellen $\zeta_x$ und $\zeta_y$ die Drehwinkel zur Beschreibung der Lotabweichungen (bzw. Stehachsrestneigungen) dar.
-{{:least-squares-adjustment:jag3d_local_spherical_earth_model.png?nolink|Lokales sphärisches Erdmodell (Kugelmodell) zur Berücksichtigung von Lotabweichungen}}
-<caption>Lokales sphärisches Erdmodell (Kugelmodell)</caption>
-</figure>
-worin $\zeta_x$ und $\zeta_y$ die Drehwinkel zur Beschreibung der Lotabweichungen (bzw. Stehachsrestneigungen) darstellen. Wird die Erde durch eine Kugel approximiert, so lassen sich die Lotabweichungen über die Bogenformel approximieren,
+Das gemeinsame Datum kann durch einen Fundamentalpunkt (Principal Point) $\mathbf{P}_0$ definiert werden.
+In diesem Fall sind für $\mathbf{P}_0$ die globalen geographischen Koordinaten $\lambda_0$ und $\phi_0$ vorzugeben, sodass die resultierende Ellipsoidnormale das lokale (tangentiale) Koordinatensystem definiert, welches durch $h_0$ ggf. noch entlang dieses Normalenvektors zu verschieben ist, siehe Abbildung {{ref>jag3d_local_ellipsoidal_Earth_model}}.
-$$\zeta_x = \frac{y - y_0}{R + h_0 - z_0}$$
+Die $xyz$-Koordinaten in diesem Datum können durch die bekannte [[https://en.wikipedia.org/wiki/Geographic_coordinate_conversion#From_ECEF_to_ENU|Umformung]]
-bzw.
+$$\begin{pmatrix}y_i \\ x_i \\ z_i\end{pmatrix} =
+  \begin{pmatrix}
+    -\sin\lambda_0 &            \cos\lambda_0           &         0 \\
+    -\sin\phi_0\cos\lambda_0 & -\sin\phi_0\sin\lambda_0 & \cos\phi_0 \\
+     \cos\phi_0\cos\lambda_0 &  \cos\phi_0\sin\lambda_0 & \sin\phi_0
+  \end{pmatrix}
+  \begin{pmatrix}
+    X_i - X_0 \\
+    Y_i - Y_0 \\
+    Z_i - Z_0
+  \end{pmatrix}$$
+<figure|jag3d_local_ellipsoidal_Earth_model|fright>
+{{:least-squares-adjustment:jag3d_local_ellipsoidal_earth_model.png?nolink|Lokales ellipsoidisches Erdmodell zur Berücksichtigung von Lotabweichungen, definiert im Fundamentalpunkt P0}}
+<caption>Lokales ellipsoidisches Erdmodell definiert in $\mathbf{P}_0$</caption>
+</figure>
-$$\zeta_y = -\frac{x - x_0}{R + h_0 - z_0}$$
+ermittelt werden. Hierin sind $\mathbf{P}^{\mathrm{T}}_i = \begin{pmatrix}X & Y & Z\end{pmatrix}$ die globalen (geozentrischen) Koordinaten und $\begin{pmatrix}x & y & z\end{pmatrix}^{\mathrm{T}}$ die korrespondierenden lokalen Koordinaten des $i$-ten Punktes $\mathbf{P}_i$.
+Die beiden Winkel $\zeta_{x,i}$ und $\zeta_{y,i}$ beschreiben somit in diesem Koordinatensystem die Abweichungen zwischen der durch $\mathbf{P}_0$ definierten (lokalen) $z$-Achse und der jeweiligen Ellipsoidnormalen von $\mathbf{P}_i$. Für $\mathbf{P}_i$ müssen keine globalen geographischen Koordinaten bereitgestellt werden, da diese sich aus der inversen Umformung direkt ergeben.
-Hierbei beschreibt $\mathbf{P}_0 = \begin{pmatrix} x_0 & y_0 & z_0 \end{pmatrix}^{\mathrm{T}}$ den Fundamentalpunkt (Pivotpunkt), $R$ den Erdradius und $h_0$ die Höhe des Fundamentalpunktes über der Erdkugel, siehe Abbildung {{ref>jag3d_local_spherical_Earth_model}}. Bitte beachte, dass das $x,y,z$-System ein lokales System ist und somit frei definiert werden kann.
+Wird ein lokales ellipsoidisches Koordinatensystem verwendet und zusätzlich $\zeta_{x,i}$ und $\zeta_{y,i}$ vorgegeben, so werden die theoretischen Winkel mit den vorgegebenen Winkeln akkumuliert in der Ausgleichung. Hierdurch ist es möglich, Lotabweichungen in der Ausgleichung zu berücksichtigen, die die Abweichungen zwischen den Ellipsoidnormalen und den jeweiligen lokalen Lotrichtungen beschreiben. Bitte beachte, dass die in der Erdmessung gebräuchlichen Lotabweichungsparameter $\xi$ und $\eta$ gegenüber den beiden Winkeln $\zeta_x$ und $\zeta_y$ einen anderen Drehsinn aufweisen. Es gilt $\zeta_x = \eta$ und $\zeta_y = -\xi$.
-Das im Folgenden aufgeführte stochastische Modell wird herangezogen, wenn //keine// individuellen Genauigkeiten für die einzelnen Beobachtungen vorliegen. In diesem Fall greift der gruppenbasierte Ansatz.
 ===== Terrestrische Beobachtungen =====
-Im folgenden werden die terrestrischen Beobachtungsgleichungen, wie sie von JAG3D unterstützt werden, aufgeführt. Neben dem funktionalen Modell wird das stochastische Modell vorgestellt und mögliche Gruppenparameter, die wahlweise als zusätzliche Unbekannte geschätzt werden können, genannt.
+Im Folgenden werden die terrestrischen Beobachtungsgleichungen, wie sie von JAG3D unterstützt werden, aufgeführt. Neben dem funktionalen Modell wird das stochastische Modell vorgestellt und mögliche Gruppenparameter, die wahlweise als zusätzliche Unbekannte geschätzt werden können, genannt. Das aufgeführte stochastische Modell wird herangezogen, wenn //keine// individuellen Genauigkeiten für die einzelnen Beobachtungen vorliegen. Nur in diesem Fall greift der hier gezeigte gruppenbasierte Ansatz.
 //Hinweis:// Das stochastische Modell setzt sich stets aus einem konstanten und zwei entfernungsabhängigen Anteilen zusammen. Für die entfernungsabhängigen Anteilen muss die Zielweite $d$ gegeben sein. Sollte $d$ nicht explizit vorliegen, berechnet JAG3D die Zielweite näherungsweise aus den Näherungskoordinaten. In Abhängigkeit der Güte der Näherungskoordinaten kann das stochastische Modell daher variieren, sodass die explizite Vorgabe der Zielweite empfohlen wird.
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 ^ Punktdimension | 3D  |
 ^ Zusatzparameter | Refraktionskoeffizient $k$ |
-(Bemerkung: $R = 6371~\rm{km}$ entspricht dem mittleren Erdradius)
+(Bemerkung: $R$ entspricht dem Erdradius an der geographischen Breite $\phi_0$ von $\mathbf{P}_0$)
 ===== GNSS-Basislinien =====