Java·Applied·Geodesy·3D

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====== Beobachtungen ======

JAG3D unterstützt in der Netzausgleichung verschiedene Beobachtungsarten, die innerhalb eines Projektes miteinander kombiniert werden können. Voraussetzung ist, dass die jeweilige Beobachtung zwischen Punkten definiert wird, die diesen Typ unterstützen. Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über alle verfügbaren Beobachtungstypen und zwischen welchen Punkten diese in der Ausgleichung berücksichtigt werden können.

^                      ^  1D-Punkt  ^  2D-Punkt  ^  3D-Punkt  ^
^ Nivellement         |      x    |           |     x      |
^ Richtung/Azimut     |          |      x    |     x      |
^ Horizontalstrecke   |          |      x    |     x       |
^ Raumstrecke          |          |           |     x      |
^ Zenitwinkel          |          |           |     x      |
^ GNSS 1D-Basislinie  |     x    |            |      x      |
^ GNSS 2D-Basislinie  |          |      x     |      x      |
^ GNSS 3D-Basislinie  |           |          |     x       |
^ 1D-Punkt             |     x     |          |             |
^ 2D-Punkt             |           |     x    |             |
^ 3D-Punkt             |           |          |     x       |
^ Lotabweichungen      |           |          |     x       |

Das [[:least-squares-adjustment#funktionales_modell|funktionale]] und [[:least-squares-adjustment#stochastisches_modell|stochastische]] Modell der einzelnen Beobachtungen soll im Folgenden erläutert werden. Beobachtungen sind immer zwischen zwei Punkten definiert, dem Standpunkt $\mathbf{P}_s$ und dem Zielpunkt $\mathbf{P}_z$. Deren Koordinaten seien $\mathbf{P}_s = \begin{pmatrix} x_s & y_s & z_s \end{pmatrix}^{\mathrm{T}}$ und $\mathbf{P}_z = \begin{pmatrix} x_z & y_z & z_z \end{pmatrix}^{\mathrm{T}}$, wenn es sich um Raumpunkte handelt. Liegen die Punkte in einer niederen Dimension vor, so sind die entsprechenden Koordinatenkomponenten zu streichen. Mit $h_s$ und $h_z$ sind die Stand- und Zielpunkthöhen gegeben. Ferner setzt sich das stochastische Modell aus konstanten und entfernungsabhängigen Anteilen zusammen. Die Distanz zur Bestimmung der entfernungsabhängigen Anteile sei mit $d$ bezeichnet. 

<figure|jag3d_deflection_of_the_verticals|fright>
{{:least-squares-adjustment:jag3d_deflection_of_the_verticals.png?nolink|Beziehungen zwischen einem lokalen Standpunktsystem und dem globalen Datum}}
<caption>Zusammenhang zwischen Datum und Standpunktsystem</caption>
</figure>

JAG3D unterstützt eine integrierte, hybride 3D-Netzausgleichung für terrestrische Beobachtungen, Nivellements und GNSS-Beobachtungen. Hierbei berücksichtigt die Software eine mögliche Nichtparallelität zwischen den Stehachsen der (Stand-)Punkte infolge von vorhandenen Lotabweichungen (bzw. Stehachsrestneigungen). 
Abbildung {{ref>jag3d_deflection_of_the_verticals}} zeigt schematisch den Zusammenhang zwischen dem einheitlich gewählten Datum, dem $x,y,z$-System, und dem jeweils lokalen $u,v,w$-System im Instrumentenstandpunkt. 

Werden die Koordinatendifferenzen zwischen zwei Punkten mit

$$
\begin{pmatrix}
\Delta x \\
\Delta y \\
\Delta z \\
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
x_z - x_s \\
y_z - y_s \\
z_z - z_s \\
\end{pmatrix}
$$

bezeichnet, so ergibt sich die allg. Beobachtungsgleichung

$$
\begin{pmatrix}
\Delta u\\
\Delta v\\
\Delta w
\end{pmatrix} = \mathbf{R}_s
\begin{pmatrix}
\Delta x\\
\Delta y\\
\Delta z
\end{pmatrix} - 
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
ih
\end{pmatrix} + \mathbf{R}_s\mathbf{R}^{\mathrm{T}}_z
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
th
\end{pmatrix}
$$

worin zur Modellierung der Lotabweichungen (bzw. Stehachsrestneigungen) im Standpunkt die Rotationssequenz $\mathbf{R}_s$ und im Zielpunkt die Rotationssequenz $\mathbf{R}_z$ eingeführt werden. Die Rotationssequenz für jeden Punkt ergibt sich aus einer kombinierten Drehung um die $x$ und $y$-Achse

$$\mathbf{R} = 
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & \cos\zeta_x & -\sin\zeta_x \\
0 & \sin\zeta_x &  \cos\zeta_x \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\zeta_y & 0 & \sin\zeta_y \\ 
0 & 1 & 0 \\
-\sin\zeta_y & 0 & \cos\zeta_y
\end{pmatrix}$$

Hierin stellen $\zeta_x$ und $\zeta_y$ die Drehwinkel zur Beschreibung der Lotabweichungen (bzw. Stehachsrestneigungen) dar. 

Das gemeinsame Datum kann durch einen Fundamentalpunkt (Principal Point) $\mathbf{P}_0$ definiert werden. 
In diesem Fall sind für $\mathbf{P}_0$ die globalen geographischen Koordinaten $\lambda_0$ und $\phi_0$ vorzugeben, sodass die resultierende Ellipsoidnormale das lokale (tangentiale) Koordinatensystem in $\begin{pmatrix}x_0 & y_0 & z_0\end{pmatrix}^{\mathrm{T}}$ definiert, welches durch $N_0 + h_0$ ggf. noch entlang dieses Normalenvektors zu verschieben ist, siehe Abbildung {{ref>jag3d_local_ellipsoidal_Earth_model}}. Hierbei bezeichnet $N_0$ den Normalkrümmungsradius im senkrecht projizierten Fußpunkt von $\mathbf{P}_0$.

Die $xyz$-Koordinaten in diesem Datum können durch die bekannte [[https://en.wikipedia.org/wiki/Geographic_coordinate_conversion#From_ECEF_to_ENU|Umformung]]

$$\begin{pmatrix}y_i \\ x_i \\ z_i\end{pmatrix} =
  \begin{pmatrix}
    y_0 \\
    x_0 \\
    z_0
  \end{pmatrix}
  +
  \begin{pmatrix}
    -\sin\lambda_0 &            \cos\lambda_0           &         0 \\
    -\sin\phi_0\cos\lambda_0 & -\sin\phi_0\sin\lambda_0 & \cos\phi_0 \\
     \cos\phi_0\cos\lambda_0 &  \cos\phi_0\sin\lambda_0 & \sin\phi_0
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    X_i - X_0 \\
    Y_i - Y_0 \\
    Z_i - Z_0
  \end{pmatrix}$$
  
<figure|jag3d_local_ellipsoidal_Earth_model|fright>
{{:least-squares-adjustment:jag3d_local_ellipsoidal_earth_model.png?nolink|Lokales ellipsoidisches Erdmodell zur Berücksichtigung von Lotabweichungen, definiert im Fundamentalpunkt P0}}
<caption>Lokales ellipsoidisches Erdmodell definiert in $\mathbf{P}_0$</caption>
</figure>

ermittelt werden. Hierin sind $\mathbf{P}^{\mathrm{T}}_i = \begin{pmatrix}X & Y & Z\end{pmatrix}$ die globalen (geozentrischen) Koordinaten und $\begin{pmatrix}x & y & z\end{pmatrix}^{\mathrm{T}}$ die korrespondierenden lokalen Koordinaten des $i$-ten Punktes $\mathbf{P}_i$.
Die beiden Winkel $\zeta_{x,i}$ und $\zeta_{y,i}$ beschreiben somit in diesem Koordinatensystem die Abweichungen zwischen der durch $\mathbf{P}_0$ definierten (lokalen) $z_0$-Achse und der jeweiligen Ellipsoidnormalen von $\mathbf{P}_i$. Für $\mathbf{P}_i$ müssen keine globalen geographischen Koordinaten bereitgestellt werden, da diese sich aus der inversen Umformung direkt ergeben.

Wird ein lokales ellipsoidisches Koordinatensystem verwendet und zusätzlich $\zeta_{x,i}$ und $\zeta_{y,i}$ vorgegeben, so werden die theoretischen Winkel mit den vorgegebenen Winkeln akkumuliert in der Ausgleichung. Hierdurch ist es möglich, Lotabweichungen in der Ausgleichung zu berücksichtigen, die die Abweichungen zwischen den Ellipsoidnormalen und den jeweiligen lokalen Lotrichtungen beschreiben. Bitte beachte, dass die in der Erdmessung gebräuchlichen Lotabweichungsparameter $\xi$ und $\eta$ gegenüber den beiden Winkeln $\zeta_x$ und $\zeta_y$ einen anderen Drehsinn aufweisen. Es gilt $\zeta_x = \eta$ und $\zeta_y = -\xi$.


===== Terrestrische Beobachtungen =====

Im Folgenden werden die terrestrischen Beobachtungsgleichungen, wie sie von JAG3D unterstützt werden, aufgeführt. Neben dem funktionalen Modell wird das stochastische Modell vorgestellt und mögliche Gruppenparameter, die wahlweise als zusätzliche Unbekannte geschätzt werden können, genannt. Das aufgeführte stochastische Modell wird herangezogen, wenn //keine// individuellen Genauigkeiten für die einzelnen Beobachtungen vorliegen. Nur in diesem Fall greift der hier gezeigte gruppenbasierte Ansatz.

//Hinweis:// Das stochastische Modell setzt sich stets aus einem konstanten und zwei entfernungsabhängigen Anteilen zusammen. Für die entfernungsabhängigen Anteilen muss die Zielweite $d$ gegeben sein. Sollte $d$ nicht explizit vorliegen, berechnet JAG3D die Zielweite näherungsweise aus den Näherungskoordinaten. In Abhängigkeit der Güte der Näherungskoordinaten kann das stochastische Modell daher variieren, sodass die explizite Vorgabe der Zielweite empfohlen wird.


==== Nivellement ====

^ Funktionales Modell   | $\delta h = \frac{1} m \left(w^*_z - w_s\right)$    |
^ Stochastisches Modell | $\sigma_{\delta h} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 d + (\sigma_c d)^2}$    |
^ Punktdimension | 1D, 3D  |
^ Zusatzparameter | Maßstab $m$  |

(Bemerkung: $w^*$ bezieht sich auf das lokale System des Zielpunktes)


==== Richtung/Azimut ====
^ Funktionales Modell   | $t = \arctan_2{ \frac{\Delta v} {\Delta u}} - o$    |
^ Stochastisches Modell | $\sigma_t = \sqrt{\sigma_a^2 + \left(\frac{\sigma_b} {\sqrt d} \right)^2 + \left(\frac{\sigma_c} d \right)^2 } $   |
^ Punktdimension | 2D, 3D  |
^ Zusatzparameter | Orientierung $o$ |
(Bemerkung: Bei Azimuten entfällt unter Umständen $o$)


==== Horizontale Strecke ====
^ Funktionales Modell   | $s_{2D} = \frac{1} m  \left(\sqrt{ \Delta v^2 + \Delta u^2}- a \right)$    |
^ Stochastisches Modell | $\sigma_{s_{2D}} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 d + \sigma_c^2 d^2} $    |
^ Punktdimension | 2D, 3D  |
^ Zusatzparameter | Maßstab $m$, Nullpunktabweichung $a$ |

==== Schrägstrecke ====
^ Funktionales Modell   | $s_{3D} = \frac{1} m  \left(\sqrt{ \Delta v^2 + \Delta u^2 + \Delta w^2}- a \right)$    |
^ Stochastisches Modell | $\sigma_{s_{3D}} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 d + \sigma_c^2 d^2} $    |
^ Punktdimension | 3D  |
^ Zusatzparameter | Maßstab $m$, Nullpunktabweichung $a$ |

==== Zenitwinkel ====
^ Funktionales Modell   | $z = \arctan{ \frac{\sqrt{ \Delta v^2 + \Delta u^2}} {\Delta w}} - k \frac{s_{2D}} {2R} $    |
^ Stochastisches Modell | $\sigma_z = \sqrt{\sigma_a^2 + \left(\frac{\sigma_b} {\sqrt d} \right)^2 + \left(\frac{\sigma_c} d \right)^2} $   |
^ Punktdimension | 3D  |
^ Zusatzparameter | Refraktionskoeffizient $k$ |
(Bemerkung: $R$ entspricht dem Erdradius an der geographischen Breite $\phi_0$ von $\mathbf{P}_0$)

===== GNSS-Basislinien =====

Im Gegensatz zu den terrestrischen Beobachtungen, bei denen zwischen den Punkten $\mathbf{P}_s$ und $\mathbf{P}_z$ ein einziger Messwert vorliegt, wird die GNSS-Basislinie in Abhängigkeit der Dimension in eine $\mathbf{b}_{1D} = \begin{pmatrix} \delta z \end{pmatrix}^{\mathrm{T}}$, zwei $\mathbf{b}_{2D} = \begin{pmatrix} \delta x & \delta y \end{pmatrix}^{\mathrm{T}}$ oder drei $\mathbf{b}_{3D} = \begin{pmatrix} \delta x & \delta y & \delta z \end{pmatrix}^{\mathrm{T}}$ Vektorkomponenten aufgesplittet. Der Abstand $d$ zur Bildung des entfernungsabhängigen Anteils im stochastischen Modell entspricht hierbei der zugehörigen Basislinenvektorkomponente.

==== 1D-Basislinien ====

^ Funktionales Modell   | $\mathbf{b_{1D}} = \delta z = m\mathbf{R} \begin{pmatrix} x_z-x_s \\ y_z-y_s \\ z_z-z_s \end{pmatrix} $    |
^ Stochastisches Modell | $\sigma_{\delta z} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 d + \sigma_c^2 d^2}$   |
^ Punktdimension | 1D, 3D  |
^ Zusatzparameter | Maßstab $m$, 2 Drehwinkel in Matrix $\mathbf{R}$  |
(Bemerkung: Bei 1D-Punkten müssen die $x$ und $y$-Koordinaten nur genähert bekannt sein.)

==== 2D-Basislinien ====

^ Funktionales Modell   | $\mathbf{b_{2D}} = \begin{pmatrix} \delta x \\ \delta y \end{pmatrix} = m\mathbf{R} \begin{pmatrix} x_z-x_s \\ y_z-y_s \end{pmatrix} $    |
^ Stochastisches Modell | $\mathbf{C_b} = \begin{pmatrix} \sigma_{\delta x}^2 & 0  \\ 0 & \sigma_{\delta y}^2 \end{pmatrix}$ worin $\sigma_{\delta} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 d + \sigma_c^2 d^2}$ |
^ Punktdimension  | 2D, 3D  |
^ Zusatzparameter | Maßstab $m$, Drehwinkel in Matrix $\mathbf{R}$  |

==== 3D-Basislinien ====

^ Funktionales Modell   | $\mathbf{b_{3D}} = \begin{pmatrix} \delta x \\ \delta y \\ \delta z \end{pmatrix} = m\mathbf{R} \begin{pmatrix} x_z-x_s \\ y_z-y_s \\ z_z-z_s \end{pmatrix} $    |
^ Stochastisches Modell | $\mathbf{C_b} = \begin{pmatrix} \sigma_{\delta x}^2 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{\delta y}^2 & 0 \\ 0 & 0 &\sigma_{\delta z}^2 \end{pmatrix}$ worin $\sigma_{\delta} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 d + \sigma_c^2 d^2}$ |
^ Punktdimension | 3D  |
^ Zusatzparameter | Maßstab $m$, 3 Drehwinkel in Matrix $\mathbf{R}$  |


===== Punktbeobachtungen =====

Im Rahmen einer weichen Lagerung bzw. dynamischen Ausgleichung werden den stochastischen Anschlußpunkten Unsicherheitsbeiträge zugestanden. Dies erscheint insofern gerechtfertigt, da die Punkte, mit denen der Netzanschluß zu realisieren ist, aus vorherigen Messungen stammen und somit für jeden Punkt neben der Koordinate selbst eine Unsicherheit vorliegt. Die Matrix $\mathbf{I}$ bezeichnet im Folgenden eine Einheitsmatrix.

==== 1D-Punkt ====

^ Funktionales Modell   | $\mathbf{P_{1D}} = z = \mathbf{I} z$     |
^ Stochastisches Modell | $\mathbf{C_P} = \sigma_z^2$   |
^ Punktdimension | 1D  |


==== 2D-Punkt ====

^ Funktionales Modell   | $\mathbf{P_{2D}} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \mathbf{I} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $      |
^ Stochastisches Modell | $\mathbf{C_P} = \begin{pmatrix} \sigma_x^2 & 0  \\ 0 & \sigma_y^2 \end{pmatrix}$   |
^ Punktdimension | 2D  |


==== 3D-Punkt ====

^ Funktionales Modell   | $\mathbf{P_{3D}} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \mathbf{I} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} $      |
^ Stochastisches Modell | $\mathbf{C_P} = \begin{pmatrix} \sigma_x^2 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_y^2 & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_z^2 \end{pmatrix}$   |
^ Punktdimension | 3D  |


===== Lotabweichung bzw. Stehachsrestneigung =====

Bei räumlichen Präzisionsnetzen oder Netzen mit großer Ausdehnung ist die Annahme von parallelen Lotrichtungen für alle (Stand-)Punkte häufig nicht zutreffend. Hier empfiehlt es sich, zusätzliche Parameter zur Kompensation der Lotabweichung bzw. Stehachsrestneigung ins Ausgleichungsmodell zu integrieren. Neben der Berücksichtigung von klassischen terrestrischen Instrumenten wie bspw. Tachymetern können durch die integrierte, hybride 3D-Netzausgleichung auch Messungen von Lasertrackern streng auf der Basis der originären Beobachtungen verarbeitet werden.

^ Funktionales Modell   | $\mathbf{\zeta} = \begin{pmatrix} \zeta_x \\ \zeta_y \end{pmatrix} = \mathbf{I} \begin{pmatrix} \zeta_x \\ \zeta_y \end{pmatrix} $      |
^ Stochastisches Modell | $\mathbf{C_\zeta} = \begin{pmatrix} \sigma_{\zeta_x}^2 & 0  \\ 0 & \sigma_{\zeta_y}^2 \end{pmatrix}$   |