Unterschiede

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--- least-squares-adjustment:observation [2019/07/13 14:12] – [Richtung/Azimut] Michael Lösler
+++ least-squares-adjustment:observation [2022/11/30 14:06] (aktuell) – Michael Lösler
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 ^ 2D-Punkt             |           |     x    |             |
 ^ 3D-Punkt             |           |          |     x       |
+^ Lotabweichungen      |           |          |     x       |
-Das [[:least-squares-adjustment#funktionales_modell|funktionale]] und [[:least-squares-adjustment#stochastisches_modell|stochastische]] Modell der einzelnen Beobachtungen soll im Folgenden erläutert werden. Beobachtungen sind immer zwischen zwei Punkten definiert, dem Standpunkt $\mathbf{P}_s$ und dem Zielpunkt $\mathbf{P}_z$. Deren Koordinaten seien $\mathbf{P}_s = \begin{pmatrix} y_s & x_s & z_s \end{pmatrix}^T$ und $\mathbf{P}_z = \begin{pmatrix} y_z & x_z & z_z \end{pmatrix}^T$, wenn es sich um Raumpunkte handelt. Liegen die Punkte in einer niederen Dimension vor, so sind die entsprechenden Koordinatenkomponenten zu streichen. Mit $h_s$ und $h_z$ sind die Stand- und Zielpunkthöhen gegeben. Ferner setzt sich das stochastische Modell aus konstanten und entfernungsabhängigen Anteilen zusammen. Die Distanz zur Bestimmung der entfernungsabhängigen Anteile sei mit $d$ bezeichnet.
+Das [[:least-squares-adjustment#funktionales_modell|funktionale]] und [[:least-squares-adjustment#stochastisches_modell|stochastische]] Modell der einzelnen Beobachtungen soll im Folgenden erläutert werden. Beobachtungen sind immer zwischen zwei Punkten definiert, dem Standpunkt $\mathbf{P}_s$ und dem Zielpunkt $\mathbf{P}_z$. Deren Koordinaten seien $\mathbf{P}_s = \begin{pmatrix} x_s & y_s & z_s \end{pmatrix}^{\mathrm{T}}$ und $\mathbf{P}_z = \begin{pmatrix} x_z & y_z & z_z \end{pmatrix}^{\mathrm{T}}$, wenn es sich um Raumpunkte handelt. Liegen die Punkte in einer niederen Dimension vor, so sind die entsprechenden Koordinatenkomponenten zu streichen. Mit $h_s$ und $h_z$ sind die Stand- und Zielpunkthöhen gegeben. Ferner setzt sich das stochastische Modell aus konstanten und entfernungsabhängigen Anteilen zusammen. Die Distanz zur Bestimmung der entfernungsabhängigen Anteile sei mit $d$ bezeichnet.
-JAG3D unterstützt eine integrierte, hybride 3D-Netzausgleichung für terrestrische Beobachtungen, Nivellements und GNSS-Beobachtungen. Hierbei berücksichtigt die Software eine mögliche Nicht-Parallelität zwischen den Stehachsen der (Stand-)Punkte infolge von vorhandenen Lotabweichungen. Werden die Koordinatendifferenzen zwischen zwei Punkten mit
+<figure|jag3d_deflection_of_the_verticals|fright>
+{{:least-squares-adjustment:jag3d_deflection_of_the_verticals.png?nolink|Beziehungen zwischen einem lokalen Standpunktsystem und dem globalen Datum}}
+<caption>Zusammenhang zwischen Datum und Standpunktsystem</caption>
+</figure>
+JAG3D unterstützt eine integrierte, hybride 3D-Netzausgleichung für terrestrische Beobachtungen, Nivellements und GNSS-Beobachtungen. Hierbei berücksichtigt die Software eine mögliche Nichtparallelität zwischen den Stehachsen der (Stand-)Punkte infolge von vorhandenen Lotabweichungen (bzw. Stehachsrestneigungen).
+Abbildung {{ref>jag3d_deflection_of_the_verticals}} zeigt schematisch den Zusammenhang zwischen dem einheitlich gewählten Datum, dem $x,y,z$-System, und dem jeweils lokalen $u,v,w$-System im Instrumentenstandpunkt.
+Werden die Koordinatendifferenzen zwischen zwei Punkten mit
 $$
 \begin{pmatrix}
-\Delta y \\
 \Delta x \\
+\Delta y \\
 \Delta z \\
 \end{pmatrix} =
 \begin{pmatrix}
-y_z - y_s \\
 x_z - x_s \\
+y_z - y_s \\
 z_z - z_s \\
 \end{pmatrix}
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 $$
 \begin{pmatrix}
-\Delta v\\
 \Delta u\\
+\Delta v\\
 \Delta w
 \end{pmatrix} = \mathbf{R}_s
 \begin{pmatrix}
-\Delta y\\
 \Delta x\\
+\Delta y\\
 \Delta z
 \end{pmatrix} -
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 \\
 \\
-h_s
+ih
-\end{pmatrix} + \mathbf{R}_s\mathbf{R}^T_z
+\end{pmatrix} + \mathbf{R}_s\mathbf{R}^{\mathrm{T}}_z
 \begin{pmatrix}
 \\
 \\
-h_z
+th
 \end{pmatrix}
 $$
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 \end{pmatrix}$$
-worin $\zeta_y$ und $\zeta_x$ die Drehwinkel zur Beschreibung der Lotabweichungen darstellen.
+Hierin stellen $\zeta_x$ und $\zeta_y$ die Drehwinkel zur Beschreibung der Lotabweichungen (bzw. Stehachsrestneigungen) dar.
+Das gemeinsame Datum kann durch einen Fundamentalpunkt (Principal Point) $\mathbf{P}_0$ definiert werden.
+In diesem Fall sind für $\mathbf{P}_0$ die globalen geographischen Koordinaten $\lambda_0$ und $\phi_0$ vorzugeben, sodass die resultierende Ellipsoidnormale das lokale (tangentiale) Koordinatensystem in $\begin{pmatrix}x_0 & y_0 & z_0\end{pmatrix}^{\mathrm{T}}$ definiert, welches durch $N_0 + h_0$ ggf. noch entlang dieses Normalenvektors zu verschieben ist, siehe Abbildung {{ref>jag3d_local_ellipsoidal_Earth_model}}. Hierbei bezeichnet $N_0$ den Normalkrümmungsradius im senkrecht projizierten Fußpunkt von $\mathbf{P}_0$.
+Die $xyz$-Koordinaten in diesem Datum können durch die bekannte [[https://en.wikipedia.org/wiki/Geographic_coordinate_conversion#From_ECEF_to_ENU|Umformung]]
+$$\begin{pmatrix}y_i \\ x_i \\ z_i\end{pmatrix} =
+  \begin{pmatrix}
+    y_0 \\
+    x_0 \\
+    z_0
+  \end{pmatrix}
+  +
+  \begin{pmatrix}
+    -\sin\lambda_0 &            \cos\lambda_0           &         0 \\
+    -\sin\phi_0\cos\lambda_0 & -\sin\phi_0\sin\lambda_0 & \cos\phi_0 \\
+     \cos\phi_0\cos\lambda_0 &  \cos\phi_0\sin\lambda_0 & \sin\phi_0
+  \end{pmatrix}
+  \begin{pmatrix}
+    X_i - X_0 \\
+    Y_i - Y_0 \\
+    Z_i - Z_0
+  \end{pmatrix}$$
+<figure|jag3d_local_ellipsoidal_Earth_model|fright>
+{{:least-squares-adjustment:jag3d_local_ellipsoidal_earth_model.png?nolink|Lokales ellipsoidisches Erdmodell zur Berücksichtigung von Lotabweichungen, definiert im Fundamentalpunkt P0}}
+<caption>Lokales ellipsoidisches Erdmodell definiert in $\mathbf{P}_0$</caption>
+</figure>
+ermittelt werden. Hierin sind $\mathbf{P}^{\mathrm{T}}_i = \begin{pmatrix}X & Y & Z\end{pmatrix}$ die globalen (geozentrischen) Koordinaten und $\begin{pmatrix}x & y & z\end{pmatrix}^{\mathrm{T}}$ die korrespondierenden lokalen Koordinaten des $i$-ten Punktes $\mathbf{P}_i$.
+Die beiden Winkel $\zeta_{x,i}$ und $\zeta_{y,i}$ beschreiben somit in diesem Koordinatensystem die Abweichungen zwischen der durch $\mathbf{P}_0$ definierten (lokalen) $z_0$-Achse und der jeweiligen Ellipsoidnormalen von $\mathbf{P}_i$. Für $\mathbf{P}_i$ müssen keine globalen geographischen Koordinaten bereitgestellt werden, da diese sich aus der inversen Umformung direkt ergeben.
+Wird ein lokales ellipsoidisches Koordinatensystem verwendet und zusätzlich $\zeta_{x,i}$ und $\zeta_{y,i}$ vorgegeben, so werden die theoretischen Winkel mit den vorgegebenen Winkeln akkumuliert in der Ausgleichung. Hierdurch ist es möglich, Lotabweichungen in der Ausgleichung zu berücksichtigen, die die Abweichungen zwischen den Ellipsoidnormalen und den jeweiligen lokalen Lotrichtungen beschreiben. Bitte beachte, dass die in der Erdmessung gebräuchlichen Lotabweichungsparameter $\xi$ und $\eta$ gegenüber den beiden Winkeln $\zeta_x$ und $\zeta_y$ einen anderen Drehsinn aufweisen. Es gilt $\zeta_x = \eta$ und $\zeta_y = -\xi$.
-Das im folgenden aufgeführte stochastische Modell wird herangezogen, wenn //keine// individuellen Genauigkeiten für die einzelnen Beobachtungen vorliegen. In diesem Fall greift der gruppenbasierte Ansatz.
 ===== Terrestrische Beobachtungen =====
-Im folgenden werden die terrestrischen Beobachtungsgleichungen, wie sie von JAG3D unterstützt werden, aufgeführt. Neben dem funktionalen Modell wird das stochastische Modell vorgestellt und mögliche Gruppenparameter, die wahlweise als zusätzliche Unbekannte geschätzt werden können, genannt.
+Im Folgenden werden die terrestrischen Beobachtungsgleichungen, wie sie von JAG3D unterstützt werden, aufgeführt. Neben dem funktionalen Modell wird das stochastische Modell vorgestellt und mögliche Gruppenparameter, die wahlweise als zusätzliche Unbekannte geschätzt werden können, genannt. Das aufgeführte stochastische Modell wird herangezogen, wenn //keine// individuellen Genauigkeiten für die einzelnen Beobachtungen vorliegen. Nur in diesem Fall greift der hier gezeigte gruppenbasierte Ansatz.
 //Hinweis:// Das stochastische Modell setzt sich stets aus einem konstanten und zwei entfernungsabhängigen Anteilen zusammen. Für die entfernungsabhängigen Anteilen muss die Zielweite $d$ gegeben sein. Sollte $d$ nicht explizit vorliegen, berechnet JAG3D die Zielweite näherungsweise aus den Näherungskoordinaten. In Abhängigkeit der Güte der Näherungskoordinaten kann das stochastische Modell daher variieren, sodass die explizite Vorgabe der Zielweite empfohlen wird.
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 ==== Nivellement ====
-^ Funktionales Modell   | $\delta h = \frac{1} m \Delta w$    |
+^ Funktionales Modell   | $\delta h = \frac{1} m \left(w^*_z - w_s\right)$    |
 ^ Stochastisches Modell | $\sigma_{\delta h} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 d + (\sigma_c d)^2}$    |
 ^ Punktdimension | 1D, 3D  |
 ^ Zusatzparameter | Maßstab $m$  |
+(Bemerkung: $w^*$ bezieht sich auf das lokale System des Zielpunktes)
 ==== Richtung/Azimut ====
-^ Funktionales Modell   | $t = \arctan2{ \left ( \Delta v, \Delta u \right )} - o$    |
+^ Funktionales Modell   | $t = \arctan_2{ \frac{\Delta v} {\Delta u}} - o$    |
 ^ Stochastisches Modell | $\sigma_t = \sqrt{\sigma_a^2 + \left(\frac{\sigma_b} {\sqrt d} \right)^2 + \left(\frac{\sigma_c} d \right)^2 } $   |
 ^ Punktdimension | 2D, 3D  |
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 ^ Punktdimension | 3D  |
 ^ Zusatzparameter | Refraktionskoeffizient $k$ |
-(Bemerkung: $R = 6371~\rm{km}$ entspricht dem mittleren Erdradius)
+(Bemerkung: $R$ entspricht dem Erdradius an der geographischen Breite $\phi_0$ von $\mathbf{P}_0$)
 ===== GNSS-Basislinien =====
-Im Gegensatz zu den terrestrischen Beobachtungen, bei denen zwischen den Punkten $\mathbf{P}_s$ und $\mathbf{P}_z$ ein einziger Messwert vorliegt, wird die GNSS-Basislinie in Abhängigkeit der Dimension in eine $\mathbf{b}_{1D} = \begin{pmatrix} \delta z \end{pmatrix}^T$, zwei $\mathbf{b}_{2D} = \begin{pmatrix} \delta y & \delta x \end{pmatrix}^T$ oder drei $\mathbf{b}_{3D} = \begin{pmatrix} \delta y & \delta x & \delta z \end{pmatrix}^T$ Vektorkomponenten aufgesplittet. Der Abstand $d$ zur Bildung des entfernungsabhängigen Anteils im stochastischen Modell entspricht hierbei der zugehörigen Basislinenvektorkomponente.
+Im Gegensatz zu den terrestrischen Beobachtungen, bei denen zwischen den Punkten $\mathbf{P}_s$ und $\mathbf{P}_z$ ein einziger Messwert vorliegt, wird die GNSS-Basislinie in Abhängigkeit der Dimension in eine $\mathbf{b}_{1D} = \begin{pmatrix} \delta z \end{pmatrix}^{\mathrm{T}}$, zwei $\mathbf{b}_{2D} = \begin{pmatrix} \delta x & \delta y \end{pmatrix}^{\mathrm{T}}$ oder drei $\mathbf{b}_{3D} = \begin{pmatrix} \delta x & \delta y & \delta z \end{pmatrix}^{\mathrm{T}}$ Vektorkomponenten aufgesplittet. Der Abstand $d$ zur Bildung des entfernungsabhängigen Anteils im stochastischen Modell entspricht hierbei der zugehörigen Basislinenvektorkomponente.
 ==== 1D-Basislinien ====
-^ Funktionales Modell   | $\mathbf{b_{1D}} = \delta z = m\mathbf{R} \begin{pmatrix} y_z-y_s \\ x_z-x_s \\ z_z-z_s \end{pmatrix} $    |
+^ Funktionales Modell   | $\mathbf{b_{1D}} = \delta z = m\mathbf{R} \begin{pmatrix} x_z-x_s \\ y_z-y_s \\ z_z-z_s \end{pmatrix} $    |
 ^ Stochastisches Modell | $\sigma_{\delta z} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 d + \sigma_c^2 d^2}$   |
 ^ Punktdimension | 1D, 3D  |
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 ==== 2D-Basislinien ====
-^ Funktionales Modell   | $\mathbf{b_{2D}} = \begin{pmatrix} \delta y \\ \delta x \end{pmatrix} = m\mathbf{R} \begin{pmatrix} y_z-y_s \\ x_z-x_s \end{pmatrix} $    |
+^ Funktionales Modell   | $\mathbf{b_{2D}} = \begin{pmatrix} \delta x \\ \delta y \end{pmatrix} = m\mathbf{R} \begin{pmatrix} x_z-x_s \\ y_z-y_s \end{pmatrix} $    |
-^ Stochastisches Modell | $\mathbf{C_b} = \begin{pmatrix} \sigma_{\delta y}^2 & 0  \\ 0 & \sigma_{\delta x}^2 \end{pmatrix}$ worin $\sigma_{\delta} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 d + \sigma_c^2 d^2}$ |
+^ Stochastisches Modell | $\mathbf{C_b} = \begin{pmatrix} \sigma_{\delta x}^2 & 0  \\ 0 & \sigma_{\delta y}^2 \end{pmatrix}$ worin $\sigma_{\delta} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 d + \sigma_c^2 d^2}$ |
 ^ Punktdimension  | 2D, 3D  |
 ^ Zusatzparameter | Maßstab $m$, Drehwinkel in Matrix $\mathbf{R}$  |
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 ==== 3D-Basislinien ====
-^ Funktionales Modell   | $\mathbf{b_{3D}} = \begin{pmatrix} \delta y \\ \delta x \\ \delta z \end{pmatrix} = m\mathbf{R} \begin{pmatrix} y_z-y_s \\ x_z-x_s \\ z_z-z_s \end{pmatrix} $    |
+^ Funktionales Modell   | $\mathbf{b_{3D}} = \begin{pmatrix} \delta x \\ \delta y \\ \delta z \end{pmatrix} = m\mathbf{R} \begin{pmatrix} x_z-x_s \\ y_z-y_s \\ z_z-z_s \end{pmatrix} $    |
-^ Stochastisches Modell | $\mathbf{C_b} = \begin{pmatrix} \sigma_{\delta y}^2 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{\delta x}^2 & 0 \\ 0 & 0 &\sigma_{\delta z}^2 \end{pmatrix}$ worin $\sigma_{\delta} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 d + \sigma_c^2 d^2}$ |
+^ Stochastisches Modell | $\mathbf{C_b} = \begin{pmatrix} \sigma_{\delta x}^2 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{\delta y}^2 & 0 \\ 0 & 0 &\sigma_{\delta z}^2 \end{pmatrix}$ worin $\sigma_{\delta} = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2 d + \sigma_c^2 d^2}$ |
 ^ Punktdimension | 3D  |
 ^ Zusatzparameter | Maßstab $m$, 3 Drehwinkel in Matrix $\mathbf{R}$  |
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 ==== 2D-Punkt ====
-^ Funktionales Modell   | $\mathbf{P_{2D}} = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} = \mathbf{I} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} $      |
+^ Funktionales Modell   | $\mathbf{P_{2D}} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \mathbf{I} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $      |
-^ Stochastisches Modell | $\mathbf{C_P} = \begin{pmatrix} \sigma_y^2 & 0  \\ 0 & \sigma_x^2 \end{pmatrix}$   |
+^ Stochastisches Modell | $\mathbf{C_P} = \begin{pmatrix} \sigma_x^2 & 0  \\ 0 & \sigma_y^2 \end{pmatrix}$   |
 ^ Punktdimension | 2D  |
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 ==== 3D-Punkt ====
-^ Funktionales Modell   | $\mathbf{P_{3D}} = \begin{pmatrix} y \\ x \\ z \end{pmatrix} = \mathbf{I} \begin{pmatrix} y \\ x \\ z \end{pmatrix} $      |
+^ Funktionales Modell   | $\mathbf{P_{3D}} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \mathbf{I} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} $      |
-^ Stochastisches Modell | $\mathbf{C_P} = \begin{pmatrix} \sigma_y^2 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_x^2 & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_z^2 \end{pmatrix}$   |
+^ Stochastisches Modell | $\mathbf{C_P} = \begin{pmatrix} \sigma_x^2 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_y^2 & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_z^2 \end{pmatrix}$   |
 ^ Punktdimension | 3D  |
+===== Lotabweichung bzw. Stehachsrestneigung =====
+Bei räumlichen Präzisionsnetzen oder Netzen mit großer Ausdehnung ist die Annahme von parallelen Lotrichtungen für alle (Stand-)Punkte häufig nicht zutreffend. Hier empfiehlt es sich, zusätzliche Parameter zur Kompensation der Lotabweichung bzw. Stehachsrestneigung ins Ausgleichungsmodell zu integrieren. Neben der Berücksichtigung von klassischen terrestrischen Instrumenten wie bspw. Tachymetern können durch die integrierte, hybride 3D-Netzausgleichung auch Messungen von Lasertrackern streng auf der Basis der originären Beobachtungen verarbeitet werden.
+^ Funktionales Modell   | $\mathbf{\zeta} = \begin{pmatrix} \zeta_x \\ \zeta_y \end{pmatrix} = \mathbf{I} \begin{pmatrix} \zeta_x \\ \zeta_y \end{pmatrix} $      |
+^ Stochastisches Modell | $\mathbf{C_\zeta} = \begin{pmatrix} \sigma_{\zeta_x}^2 & 0  \\ 0 & \sigma_{\zeta_y}^2 \end{pmatrix}$   |