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--- least-squares-adjustment:outlier [2021/02/17 18:17] – [$p$-Wert] Michael Lösler
+++ least-squares-adjustment:outlier [2024/09/11 17:54] (aktuell) – Link korrigiert Michael Lösler
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 mit der zu prüfenden Nullhypothese
-$$ \hat\sigma_0^2  \leq \sigma_0^2 | H_0 $$
+$$ \hat\sigma_0^2  \leq \sigma_0^2 | \mathrm{H}_0 $$
 und der Alternativhypothese
-$$ \hat\sigma_0^2  \gt \sigma_0^2 | H_A $$
+$$ \hat\sigma_0^2  \gt \sigma_0^2 | \mathrm{H}_A $$
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 Die $i$-te //a-priori// bezogene Testgröße ergibt sich für den $m$-dimensionalen multiplen Test aus
-$$ T_{prio,i} = \frac{\mathbf{\nabla_i^TQ_{\nabla\nabla,i}^{-1}\nabla_i}} {m\sigma_0^2} \sim F_{m,\infty} $$
+$$ T_{prio,i} = \frac{\mathbf{\nabla}_i^T\mathbf{Q}_{\nabla\nabla,i}^{-1}\mathbf{\nabla}_i} {m\sigma_0^2} \sim F_{m,\infty} | \mathrm{H}_0$$
 und für den //a-posteriori// bezogenen Test aus
-$$ T_{post,i} = \frac{\mathbf{\nabla_i^TQ_{\nabla\nabla,i}^{-1}\nabla_i}} {m\hat{\sigma'_i}^2} \sim F_{m,f-m} $$
+$$ T_{post,i} = \frac{\mathbf{\nabla}_i^T\mathbf{Q}_{\nabla\nabla,i}^{-1}\mathbf{\nabla}_i} {m{{\hat{\sigma}_j'}^2}} \sim F_{m,f-m} | \mathrm{H}_0 $$
 Der geschätzte //a-posteriori// Varianzfaktor der Gesamtausgleichung ist aufgrund einer Modellstörung verzerrt. Aus diesem Grund wird die Verbesserungsquadratsumme $\Omega$ um den Einfluss der möglichen Modellstörung reduziert.
-$$ \hat{\sigma'_i}^2 = \frac{\Omega - \mathbf{\nabla_i^TQ_{\nabla\nabla,i}^{-1}\nabla_i}} {f-m} $$
+$$ {{\hat{\sigma}_j'}^2} = \frac{\Omega - \mathbf{\nabla}_i^T\mathbf{Q}_{\nabla\nabla,i}^{-1}\mathbf{\nabla}_i} {f-m} $$
-Die zur $i$-ten [[:least-squares-adjustment:observation|Beobachtung]] geschätzte [[:least-squares-adjustment:reliability#modellstoerung|Modellstörung]] ist hierbei $\nabla_i$ mit zugehöriger Kofaktormatrix $\mathbf{Q}_{\nabla\nabla,i}$.
+Die zur $i$-ten [[:least-squares-adjustment:observation|Beobachtung]] geschätzte [[:least-squares-adjustment:reliability#modellstorung|Modellstörung]] ist hierbei $\nabla_i$ mit zugehöriger Kofaktormatrix $\mathbf{Q}_{\nabla\nabla,i}$ und $m = \tr\left(\mathbf{Q}_{\nabla\nabla,i}\right)$.
 Analog zum Globaltest lassen sich auch die geschätzten Varianzfaktoren der Beobachtungsgruppen, die aus der [[:least-squares-adjustment:variance-component-estimation|Varianzkomponentenschätzung]] resultieren, auf Modellkonformität prüfen. Anstelle des //a-posteriori// Varianzfaktors der Gesamtausgleichung wird hierbei auf den geschätzten Varianzfaktor der jeweiligen Gruppe zurückgegriffen.
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 Beim Durchführen des klassischen //Datasnoopings// wird das Beobachtungsmaterial (die Stichprobe) parallel auf eine Reihe von Hypothesen überprüft. In der Statistik spricht man in diesem Fall von einem multiplen Testproblem. Dies führt zur sogenannten //Alphafehler-Kumulierung//, dem Anstieg der Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art. Mittels der Šidák (1967)-Korrektur
-$$\alpha_{lokal}=1-(1-\alpha_{global})^{1/p}$$
+$$\alpha_{lokal}=1-(1-\alpha_{global})^{1/h}$$
-lässt sich die Irrtumswahrscheinlichkeit der gesamten Hypothesenfamilie $\alpha_{global}$ auf die einzelnen lokalen Hypothesen $\alpha_{lokal}$ portionieren. Hierbei entspricht $p$ der Anzahl der Hypothesen. In JAG3D ergibt sich $p$ aus der Anzahl aller prüfbaren Beobachtungen und dem Globaltest. Eine Beobachtung gilt als prüfbar, wenn sie einen [[:least-squares-adjustment|Redundanzanteil]] von $r_i \gt 0$ aufweist. Durch Vorgabe eines $\alpha_{lokal}$ und Umkehrung der Šidák-Korrektur lässt sich wahlweise auch das globale $\alpha_{global}$-Nivau ableiten.
+lässt sich die Irrtumswahrscheinlichkeit der gesamten Hypothesenfamilie $\alpha_{global}$ auf die einzelnen lokalen Hypothesen $\alpha_{lokal}$ portionieren. Hierbei entspricht $h$ der Anzahl der Hypothesen. In JAG3D ergibt sich $h$ aus der Anzahl aller prüfbaren Beobachtungen und dem Globaltest. Eine Beobachtung gilt als prüfbar, wenn sie einen [[:least-squares-adjustment|Redundanzanteil]] von $r_i \gt 0$ aufweist. Durch Vorgabe eines $\alpha_{lokal}$ und Umkehrung der Šidák-Korrektur lässt sich wahlweise auch das globale $\alpha_{global}$-Nivau ableiten.
 Der Nichtzentralitätsparameter $\lambda$ ist durch das vorgegebene $\alpha$ und $\beta$ festgelegt und wird analog zum ermittelten $\alpha_{lokal}$ einheitlich bei allen $m$-dimensionalen Teststatistiken zugrunde gelegt. Hierdurch ändert sich die Testgüte der einzelnen Teststatistiken in Abhängigkeit der Freiheitsgrade $n$ und $m$.
-$$\beta(m, n)=\beta(\beta,\lambda,p,\infty,m,n)$$
+$$\beta(m, n)=\beta(\beta,\lambda,h,\infty,m,n)$$
 ===== Keine Abstimmung =====
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 Neben den beiden Teststatistiken $T_{prio}$ und $T_{post}$ kann eine mögliche Modellstörung auch mit dem $p$-Wert (engl. $p$-Value) beurteilt werden. Der $p$-Wert beschreibt hierbei eine Überschreitungswahrscheinlichkeit und definiert den Grenzwert, bei dem die als zutreffend angenommene Nullhypothese $H_0$ gerade noch verworfen werden kann. Der $p$-Wert ist somit eine Wahrscheinlichkeit und kann Werte zwischen 0 und 1 (bzw. 0% und 100%) annehmen. Die Nullhypothese $H_0$ ist allgemein zu verwerfen, wenn der $p$-Wert kleiner als ein vorgegebenes Signifikanzniveau $\alpha$ ist. Analog zu den beiden Teststatistiken $T_{prio}$ und $T_{post}$ kann der $p$-Wert mit dem //a-priori// Varianzfaktor $\sigma_0^2$ und dem //a-posteriori// Varianzfaktor $\hat{\sigma}_0^2$ angegeben werden.
-Da im Falle einer möglichen Modellstörung die $p$-Werte sehr klein werden, sind in JAG3D beide Evidenzmaße in logarithmischer Darstellung ausgegeben und mit $\log(p_{prio})$ bzw. $\log(p_{post})$ bezeichnet. Der hierdurch resultierende Wertebereich lautet $[\log(0), \log(1)] = [-\infty, 0]$. Die Nullhypothese ist zu verwerfen, wenn
+Da im Falle einer möglichen Modellstörung die $p$-Werte sehr klein werden, sind in JAG3D beide Evidenzmaße in logarithmischer Darstellung zur Basis $e$ (natürlicher Logarithmus) angegeben und mit $\log(p_{prio})$ bzw. $\log(p_{post})$ bezeichnet. Der hierdurch resultierende Wertebereich lautet $[\log(0^+), \log(1)] = [-\infty, 0]$. Die Nullhypothese ist zu verwerfen, wenn
-$$p < \alpha \asymp \log(p) < \log(\alpha)$$
+$$p \lt \alpha \asymp \log(p) \lt \log(\alpha)$$
 gilt. Im Gegensatz zur Bewertung mittels $T_{prio}$ bzw. $T_{post}$ bietet der $p$-Wert den Vorteil, verschiedene Testergebnisse miteinander zu vergleichen.