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--- least-squares-adjustment:outlier [2021/02/18 09:24] – [Šidák-Korrektur] Michael Lösler
+++ least-squares-adjustment:outlier [2023/01/24 16:26] (aktuell) – natürlicher Logarithmus Michael Lösler
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 mit der zu prüfenden Nullhypothese
-$$ \hat\sigma_0^2  \leq \sigma_0^2 | H_0 $$
+$$ \hat\sigma_0^2  \leq \sigma_0^2 | \mathrm{H}_0 $$
 und der Alternativhypothese
-$$ \hat\sigma_0^2  \gt \sigma_0^2 | H_A $$
+$$ \hat\sigma_0^2  \gt \sigma_0^2 | \mathrm{H}_A $$
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 Die $i$-te //a-priori// bezogene Testgröße ergibt sich für den $m$-dimensionalen multiplen Test aus
-$$ T_{prio,i} = \frac{\mathbf{\nabla_i^TQ_{\nabla\nabla,i}^{-1}\nabla_i}} {m\sigma_0^2} \sim F_{m,\infty} $$
+$$ T_{prio,i} = \frac{\mathbf{\nabla}_i^T\mathbf{Q}_{\nabla\nabla,i}^{-1}\mathbf{\nabla}_i} {m\sigma_0^2} \sim F_{m,\infty} | \mathrm{H}_0$$
 und für den //a-posteriori// bezogenen Test aus
-$$ T_{post,i} = \frac{\mathbf{\nabla_i^TQ_{\nabla\nabla,i}^{-1}\nabla_i}} {m\hat{\sigma'_i}^2} \sim F_{m,f-m} $$
+$$ T_{post,i} = \frac{\mathbf{\nabla}_i^T\mathbf{Q}_{\nabla\nabla,i}^{-1}\mathbf{\nabla}_i} {m{{\hat{\sigma}_j'}^2}} \sim F_{m,f-m} | \mathrm{H}_0 $$
 Der geschätzte //a-posteriori// Varianzfaktor der Gesamtausgleichung ist aufgrund einer Modellstörung verzerrt. Aus diesem Grund wird die Verbesserungsquadratsumme $\Omega$ um den Einfluss der möglichen Modellstörung reduziert.
-$$ \hat{\sigma'_i}^2 = \frac{\Omega - \mathbf{\nabla_i^TQ_{\nabla\nabla,i}^{-1}\nabla_i}} {f-m} $$
+$$ {{\hat{\sigma}_j'}^2} = \frac{\Omega - \mathbf{\nabla}_i^T\mathbf{Q}_{\nabla\nabla,i}^{-1}\mathbf{\nabla}_i} {f-m} $$
-Die zur $i$-ten [[:least-squares-adjustment:observation|Beobachtung]] geschätzte [[:least-squares-adjustment:reliability#modellstoerung|Modellstörung]] ist hierbei $\nabla_i$ mit zugehöriger Kofaktormatrix $\mathbf{Q}_{\nabla\nabla,i}$.
+Die zur $i$-ten [[:least-squares-adjustment:observation|Beobachtung]] geschätzte [[:least-squares-adjustment:reliability#modellstoerung|Modellstörung]] ist hierbei $\nabla_i$ mit zugehöriger Kofaktormatrix $\mathbf{Q}_{\nabla\nabla,i}$ und $m = \tr\left(\mathbf{Q}_{\nabla\nabla,i}\right)$.
 Analog zum Globaltest lassen sich auch die geschätzten Varianzfaktoren der Beobachtungsgruppen, die aus der [[:least-squares-adjustment:variance-component-estimation|Varianzkomponentenschätzung]] resultieren, auf Modellkonformität prüfen. Anstelle des //a-posteriori// Varianzfaktors der Gesamtausgleichung wird hierbei auf den geschätzten Varianzfaktor der jeweiligen Gruppe zurückgegriffen.
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 Neben den beiden Teststatistiken $T_{prio}$ und $T_{post}$ kann eine mögliche Modellstörung auch mit dem $p$-Wert (engl. $p$-Value) beurteilt werden. Der $p$-Wert beschreibt hierbei eine Überschreitungswahrscheinlichkeit und definiert den Grenzwert, bei dem die als zutreffend angenommene Nullhypothese $H_0$ gerade noch verworfen werden kann. Der $p$-Wert ist somit eine Wahrscheinlichkeit und kann Werte zwischen 0 und 1 (bzw. 0% und 100%) annehmen. Die Nullhypothese $H_0$ ist allgemein zu verwerfen, wenn der $p$-Wert kleiner als ein vorgegebenes Signifikanzniveau $\alpha$ ist. Analog zu den beiden Teststatistiken $T_{prio}$ und $T_{post}$ kann der $p$-Wert mit dem //a-priori// Varianzfaktor $\sigma_0^2$ und dem //a-posteriori// Varianzfaktor $\hat{\sigma}_0^2$ angegeben werden.
-Da im Falle einer möglichen Modellstörung die $p$-Werte sehr klein werden, sind in JAG3D beide Evidenzmaße in logarithmischer Darstellung angegeben und mit $\log(p_{prio})$ bzw. $\log(p_{post})$ bezeichnet. Der hierdurch resultierende Wertebereich lautet $[\log(0^+), \log(1)] = [-\infty, 0]$. Die Nullhypothese ist zu verwerfen, wenn
+Da im Falle einer möglichen Modellstörung die $p$-Werte sehr klein werden, sind in JAG3D beide Evidenzmaße in logarithmischer Darstellung zur Basis $e$ (natürlicher Logarithmus) angegeben und mit $\log(p_{prio})$ bzw. $\log(p_{post})$ bezeichnet. Der hierdurch resultierende Wertebereich lautet $[\log(0^+), \log(1)] = [-\infty, 0]$. Die Nullhypothese ist zu verwerfen, wenn
-$$p < \alpha \asymp \log(p) < \log(\alpha)$$
+$$p \lt \alpha \asymp \log(p) \lt \log(\alpha)$$
 gilt. Im Gegensatz zur Bewertung mittels $T_{prio}$ bzw. $T_{post}$ bietet der $p$-Wert den Vorteil, verschiedene Testergebnisse miteinander zu vergleichen.