least-squares-adjustment:principal-component-analysis
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— | least-squares-adjustment:principal-component-analysis [2018/03/11 20:52] (aktuell) – angelegt Michael Lösler | ||
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+ | ====== Hauptkomponentenanalyse ====== | ||
+ | Die Hauptkomponentenanalyse ist ein statistisches Werkzeug, welches in den 1980er Jahren Einzug in die geodätische Netzausgleichung gehalten hat. Sie dient im Allgemeinen zur Strukturierung, | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \left ( \mathbf{C_{\hat x \hat x}} - \lambda_i \cdot \mathbf{I} \right ) \mathbf{m}_i = \mathbf{0} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | bzw. unter Verwendung der auf die Koordinatenanteile reduzierten [[: | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \left ( \mathbf{\bar N} - \frac{\hat{\sigma}^2_0}{\lambda_i} \cdot \mathbf{I} \right ) \mathbf{m}_i = \mathbf{0} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | worin $\lambda_i$ die Eigenwerte der Matrix und $\mathbf{m}_i$ die korrespondierenden Eigenvektoren, | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \mathbf{\varsigma}_i = \sqrt{\lambda_i} \cdot \mathbf{m}_i | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | und entsprechen der //i//-ten Halbachse des Fehlerhyperellipsoids. Es gilt | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \mathbf{C_{\hat x \hat x}} = \sum\limits_{i=1} \lambda_i \cdot \mathbf{m}_i\mathbf{m}_i^T | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | und somit | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \tr \mathbf{C_{\hat x \hat x}} = \sum\limits_{i=1} \lambda_i | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Liegen die Eigenwerte $\mathbf{\lambda} = \left ( \lambda_{max}, | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \mathbf{\varsigma}_{max} = \sqrt{\lambda_{max}} \cdot \mathbf{m}_{max} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | der 1. Hauptkomponente. In entsprechender Analogie wird die 2. Hauptkomponente $\varsigma_{max-i}$ aus dem zweitgrößten Eigenwert $\lambda_{max-1}$ und dem korrespondierenden Eigenvektor $\mathbf{m}_{max-1}$ gebildet. | ||
+ | |||
+ | Von einer // | ||
+ | |||
+ | In der Literatur gibt es unterschiedliche Angaben, ab wann ein Netz die Charakteristik einer dominanten Schwachform aufweist. Laut Niemeier (1982) ist dies bereits bei einem Anteil $\frac {\lambda_{max}}{\tr \mathbf{C_{\hat x \hat x}}} \cdot 100 [\%]$ von 40 % - 60 % der Fall. Die Hauptschwachform kann durch die Wahl eines anderen [[: |
least-squares-adjustment/principal-component-analysis.txt · Zuletzt geändert: 2018/03/11 20:52 von Michael Lösler