least-squares-adjustment
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least-squares-adjustment [2018/03/11 18:34] – gelöscht Michael Lösler | least-squares-adjustment [2018/05/19 21:36] – [Linearisierung der Beobachtungsgleichungen] Michael Lösler | ||
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+ | ====== Ausgleichung im Gauß-Markov-Modell ====== | ||
+ | Die Ausgleichung der erhobenen Daten in JAG3D erfolgt nach der //Methode der kleinsten Verbesserungsquadratsumme// | ||
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+ | $$\Omega = \mathbf{v^TPv} = Min$$ | ||
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+ | worin $\mathbf{v}$ die Verbesserungen und $\mathbf{P}$ die Gewichtsmatrix sind. Eine detaillierte Darstellungen des Gauß-Markov-Modell findet sich u.a. bei Jäger et al. (2005). | ||
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+ | ===== Stochastisches Modell ===== | ||
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+ | Im Allgemeinen werden unterschiedliche Beobachtungstypen wie bspw. Strecken und Richtungen gemeinsam in die Ausgleichung als Beobachtungen eingeführt. Diese Beobachtungstypen unterscheiden sich i.d.R. in ihren Genauigkeiten. So sind bei der klassischen Tachymetrie die Winkelmessungen gegenüber der Streckenmessung häufig genauer. Aber auch Beobachtungen gleichen Typs können unterschiedlich genau ausfallen, wenn diese bspw. mit unterschiedlichen Instrumenten oder Verfahren registriert wurden. Das stochastisches Modell hat somit u.a. das Ziel, eine Balance zwischen den unterschiedlichen Beobachtungsgenauigkeiten herzustellen und somit den Einfluss von genaueren Messungen auf das Ausgleichungsergebnis zu erhöhen. Als Maßzahl für die Güte einer Beobachtung wird deren // | ||
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+ | $$ | ||
+ | \mathbf{C_{ll}} = \begin{pmatrix} | ||
+ | \sigma_1^2 & | ||
+ | 0 & \sigma_i^2 & \dots & 0 \\ | ||
+ | \vdots & | ||
+ | 0 & \dots & 0 & \sigma_n^2 | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Durch Invertieren der Kovarianzmatrix gelangt man zur o.g. Gewichtsmatrix $\mathbf{P}$. Der vorgezogene Varianzfaktor $\sigma_0^2$ ist ein beliebig wählbarer Faktor und kann dazu verwendet werden, den Rechenaufwand zu minimieren. In JAG3D wird der Standardwert $\sigma_0 = 1$ verwendet. | ||
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+ | $$ | ||
+ | \mathbf{C_{ll}} = \sigma_0^2 \mathbf{Q_{ll}} = \sigma_0^2 \mathbf{P^{-1}} | ||
+ | $$ | ||
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+ | Die Matrix $\mathbf{Q_{ll}}$ entspricht hierbei der Kofaktormatrix. Sie unterscheidet sich von der // | ||
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+ | ===== Funktionales Modell ===== | ||
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+ | Neben dem stochastischen Modell existiert das funktionale oder mathematische Modell der Ausgleichung. In diesem wird der lineare bzw. [[# | ||
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+ | $$\mathbf{l} + \mathbf{v} = \mathbf{\hat{l}} = \mathbf{A\hat{x}}$$ | ||
+ | |||
+ | worin $\mathbf{A}$ die Design- oder Jacobimatrix und $\mathbf{l}$ ist. Die Normalgleichung ergibt sich zu: | ||
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+ | $$\mathbf{A^TPA\hat{x}} = \mathbf{A^TPl}$$ | ||
+ | |||
+ | bzw. | ||
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+ | $$\mathbf{N\hat{x}} = \mathbf{n}$$ | ||
+ | |||
+ | mit der Normalgleichungsmatrix | ||
+ | |||
+ | $$\mathbf{N} = \mathbf{A^TPA}$$ | ||
+ | |||
+ | und dem Absolutgliedvektor | ||
+ | |||
+ | $$\mathbf{n} = \mathbf{A^TPl}$$ | ||
+ | |||
+ | Durch Inversion der Normalgleichungsmatrix $\mathbf{N}$ erhält man den Lösungsvektor $\mathbf{\hat x}$ der unbekannten Parameter und deren Kofaktormatrix $\mathbf{Q_{\hat{x}\hat{x}}}$. | ||
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+ | $$\mathbf{\hat{x}} = \mathbf{N^{-1}n} = \mathbf{Q_{\hat{x}\hat{x}}n}$$ | ||
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+ | Im [[# | ||
+ | |||
+ | Die Anwendung des Unsicherheitsfortpflanzungsgesetz liefert auch die Kofaktormatrix der ausgeglichenen Beobachtungen | ||
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+ | $$\mathbf{Q_{\hat{l}\hat{l}}} = \mathbf{AQ_{\hat{x}\hat{x}}A^T}$$ | ||
+ | |||
+ | und die Kofaktormatrix der Verbesserungen | ||
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+ | $$\mathbf{Q_{vv}} = \mathbf{Q_{ll} - Q_{\hat{l}\hat{l}}}$$ | ||
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+ | Die geschätzten Kovarianzmatrizen für die Unbekannten, | ||
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+ | $$\hat{\sigma}^2_0 = \frac{\mathbf{v^TPv}} {n-u+d} = \frac{\Omega} {\tr \mathbf{R}}$$ | ||
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+ | worin $n$ der Anzahl der Beobachtungen, | ||
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+ | $$\mathbf{R} = \mathbf{Q_{vv}P}$$ | ||
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+ | Der Gesamtfreiheitsgrad $f$ der Netzausgleichung kann auch aus der Summe der Hauptdiagonalelemente – der sogenannten Spur (engl. Trace) einer Matrix - der [[: | ||
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+ | ===== Linearisierung der Beobachtungsgleichungen ===== | ||
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+ | Mit Ausnahme von beobachteten [[: | ||
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+ | $$\phi(\mathbf{x})=\phi(\mathbf{x_0}+\mathbf{\hat x})=\phi(\mathbf{x_0})+\mathbf{A\hat x} + \frac{1}2\mathbf{H}[\mathbf{\hat x}\otimes\mathbf{\hat x}] + ...$$ | ||
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+ | worin $\mathbf{A}$ die Jacobi-Matrix mit den ersten partiellen Ableitungen und $\mathbf{H}$ die Hesse-Matrix mit den zweiten partiellen Ableitungen an der Entwicklungsstelle $\mathbf{x}_0$ sind und $\otimes$ den Kroneckerprodukt-Operator symbolisiert. | ||
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+ | Diese Vorgehensweise ist zulässig, wenn die Näherungslösung der gesuchten Parameter $\mathbf{x}_0$ bereits sehr dicht an der tatsächlichen Lösung von $\mathbf{x}$ liegt und somit die Terme höherer Ordnung gegenüber dem linearen und dem konstanten Term vernachlässigt werden können. | ||
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+ | $$\phi(\mathbf{x})=\phi(\mathbf{x_0}+\mathbf{\hat x})\approx\phi(\mathbf{x_0})+\mathbf{A\hat x}$$ | ||
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+ | Die Lösung dieser Gleichung liefert – Konvergenz vorausgesetzt – eine verbesserte Schätzung der Parameter $\mathbf{x}$ gegenüber den zuvor gewählten Näherungswerten $\mathbf{x}_0$. | ||
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+ | $$\mathbf{x}=\mathbf{x_0}+\mathbf{\hat x}$$ | ||
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+ | Zur Bestimmung optimaler Parameter $\mathbf{x}$ lässt sich somit eine einfache Iterationsvorschrift formulieren: | ||
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+ | $$\mathbf{x}=\mathbf{x_0}$$ | ||
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+ | gilt. | ||
+ | |||
+ | Liegt die erste Näherung bereits sehr dich am Optimum, so sind nur wenige Iterationsschritte nötig um eine Lösung zu erzielen. Bei schlecht gewählten Näherungen sind entsprechend mehr Iterationen notwendig. Im ungünstigsten Fall divergiert das Gleichungssystem bei schlecht gewählten Näherungswerten sogar und liefert eine falsche oder keine Lösung. Die Güte der [[user-interface: |
least-squares-adjustment.txt · Zuletzt geändert: 2023/08/10 16:03 von Michael Lösler