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--- least-squares-adjustment [2018/03/11 21:11] – Michael Lösler
+++ least-squares-adjustment [2022/09/21 17:17] – [Parameterschätzung] Michael Lösler
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 ===== Funktionales Modell =====
-Neben dem stochastischen Modell existiert das funktionale oder mathematische Modell der Ausgleichung. In diesem wird der lineare bzw. [[#linearisierung_der_beobachtungsgleichungen|linearisierte Zusammenhang]] zwischen den (gekürzten) Beobachtungen $\mathbf{l}$ und den zu schätzenden Unbekannten $\mathbf{\hat x}$ abgebildet
+Neben dem stochastischen Modell existiert das funktionale oder mathematische Modell der Ausgleichung. In diesem wird der lineare bzw. [[#linearisierung_der_beobachtungsgleichungen|linearisierte Zusammenhang]] zwischen den (gekürzten) [[least-squares-adjustment:observation|Beobachtungen]] $\mathbf{l}$ und den zu schätzenden Unbekannten $\mathbf{\hat x}$ abgebildet
 $$\mathbf{l} + \mathbf{v} = \mathbf{\hat{l}} = \mathbf{A\hat{x}}$$
-worin $\mathbf{A}$ die Design- oder Jacobimatrix und $\mathbf{l}$ ist. Die Normalgleichung ergibt sich zu:
+worin $\mathbf{A}$ die Design- oder Jacobimatrix und $\mathbf{v}$ die Beobachtungsresiduen sind. Das hier verwendete funktionale Modell setzt voraus, dass jede Beobachtung $l_i$ als eigenständige Funktion der unbekannten Parameter $l_i = \mathrm{f(\mathbf{\hat x})}$ beschrieben werden kann. In der geodätischen Literatur wird dieses Modell als //Gauß-Markov Modell// bezeichnet.
+===== Parameterschätzung =====
+Die Normalgleichung ergibt sich zu:
 $$\mathbf{A^TPA\hat{x}} = \mathbf{A^TPl}$$
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 $$\mathbf{n} = \mathbf{A^TPl}$$
-Durch Inversion der Normalgleichungsmatrix $\mathbf{N}$ erhält man den Lösungsvektor $\mathbf{\hat x}$ der unbekannten Parameter und deren Kofaktormatrix $\mathbf{Q_{\hat{x}\hat{x}}}$.
+Durch Inversion der Normalgleichungsmatrix $\mathbf{N}$ erhält man den Lösungsvektor $\mathbf{\hat x}$ der unbekannten Parameter
-$$\mathbf{\hat{x}} = \mathbf{N^{-1}n} = \mathbf{Q_{\hat{x}\hat{x}}n}$$
+$$\mathbf{\hat{x}} = \mathbf{N^{-1}n}$$
+welcher aus der lineare Funktion
+$$\mathbf{\hat{x}} = \mathbf{Fl}$$
+resultiert, worin $\mathbf{F} = \left(\mathbf{A^TPA}\right)^{-1} \mathbf{A^TP}$.
+Die geschätzten Beobachtungsverbesserungen lauten
+$$\mathbf{v} = \mathbf{A\hat{x}-l} = \left(\mathbf{AF-I}\right)\mathbf{l}$$
+und lassen sich als lineare Funktion von $\mathbf{l}$ darstellen.
 Im [[#linearisierung_der_beobachtungsgleichungen|linearisierten Modell]] enthält der geschätzte Lösungsvektor der unbekannten Parameter lediglich die Zuschläge zur Entwicklungsstelle $\mathbf{x}_0$.
-Die Anwendung des Unsicherheitsfortpflanzungsgesetz liefert auch die Kofaktormatrix der ausgeglichenen Beobachtungen
+Die Anwendung des Unsicherheitsfortpflanzungsgesetz liefert neben der Kofaktormatrix der ausgeglichenen Parameter
+$$\mathbf{Q_{\hat{x}\hat{x}}} = \mathbf{FQ_{ll}F^T} = \mathbf{N^{-1}}$$
+auch die Kofaktormatrix der ausgeglichenen Beobachtungen
 $$\mathbf{Q_{\hat{l}\hat{l}}} = \mathbf{AQ_{\hat{x}\hat{x}}A^T}$$
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 $$\mathbf{R} = \mathbf{Q_{vv}P}$$
-Der Gesamtfreiheitsgrad $f$ der Netzausgleichung kann auch aus der Summe der Hauptdiagonalelemente – der sogenannten Spur (engl. Trace) einer Matrix - der [[:least-squares-adjustment:reliability#redundanzanteil|Redundanzmatrix]] $\mathbf{R}$ abgeleitet werden. Es gilt daher auch der Zusammenhang $f = n - u + d = \tr \mathbf{R}$.
+Der Gesamtfreiheitsgrad $f$ der Netzausgleichung kann auch aus der Summe der Hauptdiagonalelemente - der sogenannten Spur (engl. Trace) einer Matrix - der [[:least-squares-adjustment:reliability#redundanzanteil|Redundanzmatrix]] $\mathbf{R}$ abgeleitet werden, sofern die Beobachtungen unabhängig voneinander sind. Es gilt in diesem Fall $f = n - u + d = \tr \mathbf{R}$.
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 gilt.
-Liegt die erste Näherung bereits sehr dich am Optimum, so sind nur wenige Iterationsschritte nötig um eine Lösung zu erzielen. Bei schlecht gewählten Näherungen sind entsprechend mehr Iterationen notwendig. Im ungünstigsten Fall divergiert das Gleichungssystem bei schlecht gewählten Näherungswerten sogar und liefert eine falsche oder keine Lösung. Die Güte der Näherungskoordinaten ist somit entscheidend für das Konvergenzverhalten.
+Liegt die erste Näherung bereits sehr dich am Optimum, so sind nur wenige Iterationsschritte nötig um eine Lösung zu erzielen. Bei schlecht gewählten Näherungen sind entsprechend mehr Iterationen notwendig. Im ungünstigsten Fall divergiert das Gleichungssystem bei schlecht gewählten Näherungswerten sogar und liefert eine falsche oder keine Lösung. Die Güte der [[user-interface:pre-processing#bestimmung_von_naherungskoordinaten|Näherungskoordinaten]] ist somit entscheidend für das Konvergenzverhalten.