least-squares-adjustment
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least-squares-adjustment [2019/04/06 16:30] – [Funktionales Modell] Michael Lösler | least-squares-adjustment [2022/09/21 17:17] – [Parameterschätzung] Michael Lösler | ||
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===== Funktionales Modell ===== | ===== Funktionales Modell ===== | ||
- | Neben dem stochastischen Modell existiert das funktionale oder mathematische Modell der Ausgleichung. In diesem wird der lineare bzw. [[# | + | Neben dem stochastischen Modell existiert das funktionale oder mathematische Modell der Ausgleichung. In diesem wird der lineare bzw. [[# |
$$\mathbf{l} + \mathbf{v} = \mathbf{\hat{l}} = \mathbf{A\hat{x}}$$ | $$\mathbf{l} + \mathbf{v} = \mathbf{\hat{l}} = \mathbf{A\hat{x}}$$ | ||
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$$\mathbf{n} = \mathbf{A^TPl}$$ | $$\mathbf{n} = \mathbf{A^TPl}$$ | ||
- | Durch Inversion der Normalgleichungsmatrix $\mathbf{N}$ erhält man den Lösungsvektor $\mathbf{\hat x}$ der unbekannten Parameter | + | Durch Inversion der Normalgleichungsmatrix $\mathbf{N}$ erhält man den Lösungsvektor $\mathbf{\hat x}$ der unbekannten Parameter |
- | $$\mathbf{\hat{x}} = \mathbf{N^{-1}n} | + | $$\mathbf{\hat{x}} = \mathbf{N^{-1}n}$$ |
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+ | welcher aus der lineare Funktion | ||
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+ | $$\mathbf{\hat{x}} = \mathbf{Fl}$$ | ||
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+ | resultiert, worin $\mathbf{F} = \left(\mathbf{A^TPA}\right)^{-1} \mathbf{A^TP}$. | ||
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+ | Die geschätzten Beobachtungsverbesserungen lauten | ||
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+ | $$\mathbf{v} = \mathbf{A\hat{x}-l} = \left(\mathbf{AF-I}\right)\mathbf{l}$$ | ||
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+ | und lassen sich als lineare Funktion von $\mathbf{l}$ darstellen. | ||
Im [[# | Im [[# | ||
- | Die Anwendung des Unsicherheitsfortpflanzungsgesetz liefert auch die Kofaktormatrix der ausgeglichenen Beobachtungen | + | Die Anwendung des Unsicherheitsfortpflanzungsgesetz liefert |
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+ | $$\mathbf{Q_{\hat{x}\hat{x}}} = \mathbf{FQ_{ll}F^T} = \mathbf{N^{-1}}$$ | ||
+ | |||
+ | auch die Kofaktormatrix der ausgeglichenen Beobachtungen | ||
$$\mathbf{Q_{\hat{l}\hat{l}}} = \mathbf{AQ_{\hat{x}\hat{x}}A^T}$$ | $$\mathbf{Q_{\hat{l}\hat{l}}} = \mathbf{AQ_{\hat{x}\hat{x}}A^T}$$ | ||
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$$\mathbf{R} = \mathbf{Q_{vv}P}$$ | $$\mathbf{R} = \mathbf{Q_{vv}P}$$ | ||
- | Der Gesamtfreiheitsgrad $f$ der Netzausgleichung kann auch aus der Summe der Hauptdiagonalelemente | + | Der Gesamtfreiheitsgrad $f$ der Netzausgleichung kann auch aus der Summe der Hauptdiagonalelemente |
least-squares-adjustment.txt · Zuletzt geändert: 2023/08/10 16:03 von Michael Lösler