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--- least-squares-adjustment [2019/04/06 16:32] – [Funktionales Modell] Michael Lösler
+++ least-squares-adjustment [2022/09/21 17:17] – [Parameterschätzung] Michael Lösler
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 $$\mathbf{n} = \mathbf{A^TPl}$$
-Durch Inversion der Normalgleichungsmatrix $\mathbf{N}$ erhält man den Lösungsvektor $\mathbf{\hat x}$ der unbekannten Parameter und deren Kofaktormatrix $\mathbf{Q_{\hat{x}\hat{x}}}$.
+Durch Inversion der Normalgleichungsmatrix $\mathbf{N}$ erhält man den Lösungsvektor $\mathbf{\hat x}$ der unbekannten Parameter
-$$\mathbf{\hat{x}} = \mathbf{N^{-1}n} = \mathbf{Q_{\hat{x}\hat{x}}n}$$
+$$\mathbf{\hat{x}} = \mathbf{N^{-1}n}$$
+welcher aus der lineare Funktion
+$$\mathbf{\hat{x}} = \mathbf{Fl}$$
+resultiert, worin $\mathbf{F} = \left(\mathbf{A^TPA}\right)^{-1} \mathbf{A^TP}$.
+Die geschätzten Beobachtungsverbesserungen lauten
+$$\mathbf{v} = \mathbf{A\hat{x}-l} = \left(\mathbf{AF-I}\right)\mathbf{l}$$
+und lassen sich als lineare Funktion von $\mathbf{l}$ darstellen.
 Im [[#linearisierung_der_beobachtungsgleichungen|linearisierten Modell]] enthält der geschätzte Lösungsvektor der unbekannten Parameter lediglich die Zuschläge zur Entwicklungsstelle $\mathbf{x}_0$.
-Die Anwendung des Unsicherheitsfortpflanzungsgesetz liefert auch die Kofaktormatrix der ausgeglichenen Beobachtungen
+Die Anwendung des Unsicherheitsfortpflanzungsgesetz liefert neben der Kofaktormatrix der ausgeglichenen Parameter
+$$\mathbf{Q_{\hat{x}\hat{x}}} = \mathbf{FQ_{ll}F^T} = \mathbf{N^{-1}}$$
+auch die Kofaktormatrix der ausgeglichenen Beobachtungen
 $$\mathbf{Q_{\hat{l}\hat{l}}} = \mathbf{AQ_{\hat{x}\hat{x}}A^T}$$
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 $$\mathbf{R} = \mathbf{Q_{vv}P}$$
-Der Gesamtfreiheitsgrad $f$ der Netzausgleichung kann auch aus der Summe der Hauptdiagonalelemente – der sogenannten Spur (engl. Trace) einer Matrix - der [[:least-squares-adjustment:reliability#redundanzanteil|Redundanzmatrix]] $\mathbf{R}$ abgeleitet werden. Es gilt daher auch der Zusammenhang $f = n - u + d = \tr \mathbf{R}$.
+Der Gesamtfreiheitsgrad $f$ der Netzausgleichung kann auch aus der Summe der Hauptdiagonalelemente - der sogenannten Spur (engl. Trace) einer Matrix - der [[:least-squares-adjustment:reliability#redundanzanteil|Redundanzmatrix]] $\mathbf{R}$ abgeleitet werden, sofern die Beobachtungen unabhängig voneinander sind. Es gilt in diesem Fall $f = n - u + d = \tr \mathbf{R}$.