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--- least-squares-adjustment [2023/08/10 16:00] – [Funktionales Modell] Michael Lösler
+++ least-squares-adjustment [2025/03/29 13:57] (aktuell) – [Linearisierung der Beobachtungsgleichungen] Michael Lösler
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 $$\mathbf{l} + \mathbf{v} = \mathbf{\hat{l}} = \mathbf{A\hat{x}}$$
-worin $\mathbf{A}$ die Design- oder Jacobimatrix und $\mathbf{v}$ die Beobachtungsresiduen sind. Das hier verwendete funktionale Modell setzt voraus, dass jede Beobachtung $l_i$ als eigenständige Funktion der unbekannten Parameter $l_i = \mathrm{f(\mathbf{\hat x})}$ beschrieben werden kann. In der geodätischen Literatur wird dieses Modell als //Gauß-Markov Modell// bezeichnet.
+worin $\mathbf{A}$ die Design- oder Jacobimatrix und $\mathbf{v}$ die Beobachtungsresiduen sind. Das hier verwendete funktionale Modell setzt voraus, dass jede Beobachtung $l_i$ als eigenständige Funktion der unbekannten Parameter $l_i = \phi(\mathbf{\hat x})$ beschrieben werden kann. In der geodätischen Literatur wird dieses Modell als //Gauß-Markov Modell// bezeichnet.
 ===== Parameterschätzung =====
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 $$\mathbf{n} = \mathbf{A^TPl}$$
-Durch Inversion der Normalgleichungsmatrix $\mathbf{N}$ erhält man den Lösungsvektor $\mathbf{\hat x}$ der unbekannten Parameter
+Durch Auflösen des Normalgleichungssystems nach $\mathbf{\hat x}$ ergibt sich der Lösungsvektor der unbekannten Parameter
 $$\mathbf{\hat{x}} = \mathbf{N^{-1}n}$$
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 $$\mathbf{R} = \mathbf{Q_{vv}P}$$
-Der Gesamtfreiheitsgrad $f$ der Netzausgleichung kann auch aus der Summe der Hauptdiagonalelemente - der sogenannten Spur (engl. Trace) einer Matrix - der [[:least-squares-adjustment:reliability#redundanzanteil|Redundanzmatrix]] $\mathbf{R}$ abgeleitet werden, sofern die Beobachtungen unabhängig voneinander sind. Es gilt in diesem Fall $f = n - u + d = \tr \mathbf{R}$.
+Der Gesamtfreiheitsgrad $r$ der Netzausgleichung kann auch aus der Summe der Hauptdiagonalelemente - der sogenannten Spur (engl. Trace) einer Matrix - der [[:least-squares-adjustment:reliability#redundanzanteil|Redundanzmatrix]] $\mathbf{R}$ abgeleitet werden, sofern die Beobachtungen unabhängig voneinander sind. Es gilt in diesem Fall $r = n - u + d = \tr \mathbf{R}$.
 ===== Linearisierung der Beobachtungsgleichungen =====
-Mit Ausnahme von beobachteten [[:least-squares-adjustment:observation#nivellement|Höhenunterschieden]] sind die [[:least-squares-adjustment:observation#terrestrische_beobachtungen|Beobachtungsgleichungen für terrestrische Messungen]] und [[:least-squares-adjustment:observation#gnss-basislinien|GNSS-Beobachtungen]] in der Netzausgleichung nicht-linear. Da der [[#ausgleichung_im_gauss-markov-modell|Ausgleichungsalgorithmus]] – formuliert als Gauß-Markov-Modell –, jedoch ein lineares Modell voraussetzt, sind die nicht-linearen Beobachtungsgleichungen zu linearisieren. Hierzu werden die Beobachtungsgleichungen $\phi$ am Entwicklungspunkt $\mathbf{x}_0$ unter Vernachlässigung von Termen höherer Ordnung mittels Taylorreihe entwickelt,
+Mit Ausnahme von beobachteten [[:least-squares-adjustment:observation#nivellement|Höhenunterschieden]] sind die [[:least-squares-adjustment:observation#terrestrische_beobachtungen|Beobachtungsgleichungen für terrestrische Messungen]] und [[:least-squares-adjustment:observation#gnss-basislinien|GNSS-Beobachtungen]] in der Netzausgleichung nicht-linear. Da der [[#ausgleichung_im_gauss-markov-modell|Ausgleichungsalgorithmus]] – formuliert als Gauß-Markov-Modell – jedoch ein lineares Modell voraussetzt, sind die nicht-linearen Beobachtungsgleichungen zu linearisieren. Hierzu werden die Beobachtungsgleichungen $\phi$ am Entwicklungspunkt $\mathbf{x}_0$ unter Vernachlässigung von Termen höherer Ordnung mittels Taylorreihe entwickelt,
 $$\phi(\mathbf{x})=\phi(\mathbf{x_0}+\mathbf{\hat x})=\phi(\mathbf{x_0})+\mathbf{A\hat x} + \frac{1}2\mathbf{H}[\mathbf{\hat x}\otimes\mathbf{\hat x}] + ...$$
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 $$\mathbf{x}=\mathbf{x_0}+\mathbf{\hat x}$$
-Zur Bestimmung optimaler Parameter $\mathbf{x}$ lässt sich somit eine einfache Iterationsvorschrift formulieren: Die Taylorreihenentwicklung der Beobachtungsgleichung $\phi$ wird solange an der jeweils verbesserten Entwicklungsstelle $\mathbf{x}_0 := \mathbf{x}$ durchgeführt, bis der Zuschlagsvektor ein Nullvektor ist und somit
+Zur Bestimmung optimaler Parameter $\mathbf{x}$ lässt sich somit eine einfache Iterationsvorschrift formulieren: Die Taylorreihenentwicklung der Beobachtungsgleichung $\phi$ wird solange an der jeweils verbesserten Entwicklungsstelle $\mathbf{x}_0 := \mathbf{x}$ durchgeführt, bis der Zuschlagsvektor (praktisch) ein Nullvektor ist und somit
-$$\mathbf{x}=\mathbf{x_0}$$
+$$\left|\mathbf{x} - \mathbf{x_0}\right|_{\infty} < \varepsilon$$
 gilt.
 Liegt die erste Näherung bereits sehr dicht am Optimum, so sind nur wenige Iterationsschritte nötig, um eine Lösung zu erzielen. Bei ungünstig gewählten Näherungswerten sind entsprechend mehr Iterationen notwendig. Im ungünstigsten Fall divergiert das Gleichungssystem sogar und liefert eine falsche bzw. unbrauchbare Lösung. Die Güte der [[user-interface:pre-processing#bestimmung_von_naherungskoordinaten|Näherungskoordinaten]] ist somit entscheidend für das Konvergenzverhalten.