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--- least-squares-adjustment [2025/03/08 20:47] – [Funktionales Modell] Michael Lösler
+++ least-squares-adjustment [2025/03/29 13:57] (aktuell) – [Linearisierung der Beobachtungsgleichungen] Michael Lösler
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 $$\mathbf{R} = \mathbf{Q_{vv}P}$$
-Der Gesamtfreiheitsgrad $f$ der Netzausgleichung kann auch aus der Summe der Hauptdiagonalelemente - der sogenannten Spur (engl. Trace) einer Matrix - der [[:least-squares-adjustment:reliability#redundanzanteil|Redundanzmatrix]] $\mathbf{R}$ abgeleitet werden, sofern die Beobachtungen unabhängig voneinander sind. Es gilt in diesem Fall $f = n - u + d = \tr \mathbf{R}$.
+Der Gesamtfreiheitsgrad $r$ der Netzausgleichung kann auch aus der Summe der Hauptdiagonalelemente - der sogenannten Spur (engl. Trace) einer Matrix - der [[:least-squares-adjustment:reliability#redundanzanteil|Redundanzmatrix]] $\mathbf{R}$ abgeleitet werden, sofern die Beobachtungen unabhängig voneinander sind. Es gilt in diesem Fall $r = n - u + d = \tr \mathbf{R}$.
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 $$\mathbf{x}=\mathbf{x_0}+\mathbf{\hat x}$$
-Zur Bestimmung optimaler Parameter $\mathbf{x}$ lässt sich somit eine einfache Iterationsvorschrift formulieren: Die Taylorreihenentwicklung der Beobachtungsgleichung $\phi$ wird solange an der jeweils verbesserten Entwicklungsstelle $\mathbf{x}_0 := \mathbf{x}$ durchgeführt, bis der Zuschlagsvektor ein Nullvektor ist und somit
+Zur Bestimmung optimaler Parameter $\mathbf{x}$ lässt sich somit eine einfache Iterationsvorschrift formulieren: Die Taylorreihenentwicklung der Beobachtungsgleichung $\phi$ wird solange an der jeweils verbesserten Entwicklungsstelle $\mathbf{x}_0 := \mathbf{x}$ durchgeführt, bis der Zuschlagsvektor (praktisch) ein Nullvektor ist und somit
-$$\mathbf{x}=\mathbf{x_0}$$
+$$\left|\mathbf{x} - \mathbf{x_0}\right|_{\infty} < \varepsilon$$
 gilt.
 Liegt die erste Näherung bereits sehr dicht am Optimum, so sind nur wenige Iterationsschritte nötig, um eine Lösung zu erzielen. Bei ungünstig gewählten Näherungswerten sind entsprechend mehr Iterationen notwendig. Im ungünstigsten Fall divergiert das Gleichungssystem sogar und liefert eine falsche bzw. unbrauchbare Lösung. Die Güte der [[user-interface:pre-processing#bestimmung_von_naherungskoordinaten|Näherungskoordinaten]] ist somit entscheidend für das Konvergenzverhalten.