least-squares-adjustment
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least-squares-adjustment [2018/05/19 21:36] – [Linearisierung der Beobachtungsgleichungen] Michael Lösler | least-squares-adjustment [2023/08/10 16:03] (aktuell) – [Parameterschätzung] Michael Lösler | ||
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===== Funktionales Modell ===== | ===== Funktionales Modell ===== | ||
- | Neben dem stochastischen Modell existiert das funktionale oder mathematische Modell der Ausgleichung. In diesem wird der lineare bzw. [[# | + | Neben dem stochastischen Modell existiert das funktionale oder mathematische Modell der Ausgleichung. In diesem wird der lineare bzw. [[# |
$$\mathbf{l} + \mathbf{v} = \mathbf{\hat{l}} = \mathbf{A\hat{x}}$$ | $$\mathbf{l} + \mathbf{v} = \mathbf{\hat{l}} = \mathbf{A\hat{x}}$$ | ||
- | worin $\mathbf{A}$ die Design- oder Jacobimatrix und $\mathbf{l}$ ist. Die Normalgleichung ergibt sich zu: | + | worin $\mathbf{A}$ die Design- oder Jacobimatrix und $\mathbf{v}$ die Beobachtungsresiduen sind. Das hier verwendete funktionale Modell setzt voraus, dass jede Beobachtung $l_i$ als eigenständige Funktion der unbekannten Parameter $l_i = \mathrm{f(\mathbf{\hat x})}$ beschrieben werden kann. In der geodätischen Literatur wird dieses Modell als // |
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+ | ===== Parameterschätzung ===== | ||
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+ | Die Normalgleichung ergibt sich zu: | ||
$$\mathbf{A^TPA\hat{x}} = \mathbf{A^TPl}$$ | $$\mathbf{A^TPA\hat{x}} = \mathbf{A^TPl}$$ | ||
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$$\mathbf{n} = \mathbf{A^TPl}$$ | $$\mathbf{n} = \mathbf{A^TPl}$$ | ||
- | Durch Inversion der Normalgleichungsmatrix $\mathbf{N}$ erhält man den Lösungsvektor | + | Durch Auflösen des Normalgleichungssystems nach $\mathbf{\hat x}$ ergibt sich der Lösungsvektor |
- | $$\mathbf{\hat{x}} = \mathbf{N^{-1}n} | + | $$\mathbf{\hat{x}} = \mathbf{N^{-1}n}$$ |
+ | |||
+ | welcher aus der lineare Funktion | ||
+ | |||
+ | $$\mathbf{\hat{x}} = \mathbf{Fl}$$ | ||
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+ | resultiert, worin $\mathbf{F} = \left(\mathbf{A^TPA}\right)^{-1} \mathbf{A^TP}$ die Funktionalmatrix der linearen Transformation ist. | ||
+ | |||
+ | Die geschätzten Beobachtungsverbesserungen lauten | ||
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+ | $$\mathbf{v} = \mathbf{A\hat{x}-l} = \left(\mathbf{AF-I}\right)\mathbf{l}$$ | ||
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+ | und lassen sich ebenfalls als lineare Funktion von $\mathbf{l}$ darstellen. | ||
Im [[# | Im [[# | ||
- | Die Anwendung des Unsicherheitsfortpflanzungsgesetz | + | Die Anwendung des Unsicherheitsfortpflanzungsgesetzes |
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+ | $$\mathbf{Q_{\hat{x}\hat{x}}} = \mathbf{FQ_{ll}F^T} = \mathbf{N^{-1}}$$ | ||
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+ | auch die Kofaktormatrix der ausgeglichenen Beobachtungen | ||
$$\mathbf{Q_{\hat{l}\hat{l}}} = \mathbf{AQ_{\hat{x}\hat{x}}A^T}$$ | $$\mathbf{Q_{\hat{l}\hat{l}}} = \mathbf{AQ_{\hat{x}\hat{x}}A^T}$$ | ||
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$$\mathbf{Q_{vv}} = \mathbf{Q_{ll} - Q_{\hat{l}\hat{l}}}$$ | $$\mathbf{Q_{vv}} = \mathbf{Q_{ll} - Q_{\hat{l}\hat{l}}}$$ | ||
- | Die geschätzten Kovarianzmatrizen für die Unbekannten, | + | Die geschätzten Kovarianzmatrizen für die Unbekannten, |
$$\hat{\sigma}^2_0 = \frac{\mathbf{v^TPv}} {n-u+d} = \frac{\Omega} {\tr \mathbf{R}}$$ | $$\hat{\sigma}^2_0 = \frac{\mathbf{v^TPv}} {n-u+d} = \frac{\Omega} {\tr \mathbf{R}}$$ | ||
- | worin $n$ der Anzahl der Beobachtungen, | + | worin $n$ der Anzahl der Beobachtungen, |
$$\mathbf{R} = \mathbf{Q_{vv}P}$$ | $$\mathbf{R} = \mathbf{Q_{vv}P}$$ | ||
- | Der Gesamtfreiheitsgrad $f$ der Netzausgleichung kann auch aus der Summe der Hauptdiagonalelemente | + | Der Gesamtfreiheitsgrad $f$ der Netzausgleichung kann auch aus der Summe der Hauptdiagonalelemente |
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gilt. | gilt. | ||
- | Liegt die erste Näherung bereits sehr dich am Optimum, so sind nur wenige Iterationsschritte nötig um eine Lösung zu erzielen. Bei schlecht | + | Liegt die erste Näherung bereits sehr dicht am Optimum, so sind nur wenige Iterationsschritte nötig, um eine Lösung zu erzielen. Bei ungünstig |
least-squares-adjustment.1526758579.txt.gz · Zuletzt geändert: 2018/05/19 21:36 von Michael Lösler