least-squares-adjustment:reliability
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least-squares-adjustment:reliability [2018/03/11 20:12] – [Genauigkeitsmaße der Parameter] Michael Lösler | least-squares-adjustment:reliability [2018/03/11 22:07] – Michael Lösler | ||
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- | + | Die Genauigkeitsmaße der geschätzten Parameter z.B. die Koordinaten der Netzpunkte werden nach der [[: | |
- | Die Genauigkeitsmaße der geschätzten Parameter z.B. die Koordinaten der Netzpunkte werden nach der [[: | + | |
$$\mathbf{C_{\hat x \hat x}}=\hat{\sigma}_0^2\mathbf{Q_{\hat x \hat x}}$$ | $$\mathbf{C_{\hat x \hat x}}=\hat{\sigma}_0^2\mathbf{Q_{\hat x \hat x}}$$ | ||
- | Während auf der Hauptdiagonalen die Varianzen | + | Während auf der Hauptdiagonalen die Varianzen |
- | Die geschätzten Standardunsicherheiten | + | Die geschätzten Standardunsicherheiten |
- | Durch spektrale Zerlegung der punktbezogenen Sub-Kofaktormatrix | + | Durch spektrale Zerlegung der punktbezogenen Sub-Kofaktormatrix |
$$\mathbf{Q_{\hat x \hat x}}= | $$\mathbf{Q_{\hat x \hat x}}= | ||
\mathbf{\begin{bmatrix} | \mathbf{\begin{bmatrix} | ||
- | Q_{\hat | + | \mathbf{Q_{\hat |
- | Q_{\hat | + | \mathbf{Q_{\hat |
\vdots & | \vdots & | ||
\end{bmatrix}}$$ | \end{bmatrix}}$$ | ||
- | {{ref> | + | {{ref> |
- | Im Folgenden soll explizit nur der räumliche Fall skizziert werden. Für '' | + | Im Folgenden soll explizit nur der räumliche Fall skizziert werden. Für $n \lt 3$ vereinfacht sich die Darstellung sinngemäß. Die $i$-te punktbezogene Sub-Kofaktormatrix |
- | $$\hat{\sigma}_0^2\mathbf{Q_{\hat | + | $$\hat{\sigma}_0^2\mathbf{Q_{\hat |
\begin{pmatrix} | \begin{pmatrix} | ||
\sigma_x^2& | \sigma_x^2& | ||
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\end{pmatrix}_{ii}$$ | \end{pmatrix}_{ii}$$ | ||
- | Die drei Halbachsen | + | Die drei Halbachsen |
$A = \sigma_0 \sqrt{ \lambda_{max} }$, $B = \sigma_0 \sqrt{ \lambda_{mid} }$, $C = \sigma_0 \sqrt{ \lambda_{min} }$ | $A = \sigma_0 \sqrt{ \lambda_{max} }$, $B = \sigma_0 \sqrt{ \lambda_{mid} }$, $C = \sigma_0 \sqrt{ \lambda_{min} }$ | ||
- | Die Orientierung lässt sich aus den drei korrespondierenden Eigenvektoren | + | Die Orientierung lässt sich aus den drei korrespondierenden Eigenvektoren |
$$\mathbf{M}=\left [\begin{matrix} \mathbf{m}_{max}& | $$\mathbf{M}=\left [\begin{matrix} \mathbf{m}_{max}& | ||
- | worin die Modalmatrix | + | worin die Modalmatrix |
$$\mathbf{M}=\mathbf{R_x}(\alpha)\mathbf{R_y}(\beta)\mathbf{R_z}(\gamma)$$ | $$\mathbf{M}=\mathbf{R_x}(\alpha)\mathbf{R_y}(\beta)\mathbf{R_z}(\gamma)$$ | ||
- | Die folgende Tabelle zeigt die maximale Sicherheitswahrscheinlichkeit in Abhängigkeit der Dimension | + | Die folgende Tabelle zeigt die maximale Sicherheitswahrscheinlichkeit in Abhängigkeit der Dimension |
^ n ^ Wahrscheinlichkeit | ^ n ^ Wahrscheinlichkeit | ||
Zeile 58: | Zeile 57: | ||
| 3 | 19,87 % | | | 3 | 19,87 % | | ||
- | Aufgrund der geringen Sicherheitswahrscheinlichkeit des einfachen Konfidenzbereichs von '' | + | Aufgrund der geringen Sicherheitswahrscheinlichkeit des einfachen Konfidenzbereichs von 40 % bzw. 20 % für einen Lage- bzw. Raumpunkt, werden die Halbachsen i.d.R. |
===== Redundanzanteil ===== | ===== Redundanzanteil ===== | ||
- | Ein Maß für die Kontrolliertheit liefert die Redundanzmatrix | + | Ein Maß für die Kontrolliertheit liefert die Redundanzmatrix |
$$\mathbf{R} = \mathbf{Q_{vv}P}$$ | $$\mathbf{R} = \mathbf{Q_{vv}P}$$ | ||
- | worin '' | + | worin $\mathbf{P}$ die Gewichtsmatrix des [[: |
- | * '' | + | * $0.0 \leq r_i \lt |
- | * '' | + | * $0.1 \leq r_i \lt |
- | * '' | + | * $0.3 \leq r_i \lt |
- | * '' | + | * $0.7 \leq r_i \leq 1.0$ → sehr gut kontrolliert. |
- | Die Summe aller ''// | + | Die Summe aller $r_i$ bzw. die Spur der Matrix |
===== Modellstörung ===== | ===== Modellstörung ===== | ||
- | Unter einer Modellstörung | + | Unter einer Modellstörung |
- | Die Größe einer möglichen Modellstörung | + | Die Größe einer möglichen Modellstörung |
$$\mathbf{l} + \mathbf{v} = \mathbf{A}\mathbf{\hat{x}} + \mathbf{B}\mathbf{\nabla}$$ | $$\mathbf{l} + \mathbf{v} = \mathbf{A}\mathbf{\hat{x}} + \mathbf{B}\mathbf{\nabla}$$ | ||
- | Das Schätzen der Zusatzparameter | + | Das Schätzen der Zusatzparameter |
$$\nabla = -\mathbf{Q_{\nabla\nabla}}\mathbf{B}^T\mathbf{Pv}$$ | $$\nabla = -\mathbf{Q_{\nabla\nabla}}\mathbf{B}^T\mathbf{Pv}$$ | ||
- | worin '' | + | worin $\mathbf{P}$ die Gewichtsmatrix des [[: |
$$\mathbf{Q_{\nabla\nabla}} = (\mathbf{B}^T\mathbf{PQ_{vv}PB})^{-1} = (\mathbf{B}^T\mathbf{PRB})^{-1}$$ | $$\mathbf{Q_{\nabla\nabla}} = (\mathbf{B}^T\mathbf{PQ_{vv}PB})^{-1} = (\mathbf{B}^T\mathbf{PRB})^{-1}$$ | ||
- | Da eine rechen- und zeitintensive Neuausgleichung entfallen kann, lassen sich mit vertretbarem Aufwand verschiedene Störmodelle analysieren und die geschätzten Modellstörungen | + | Da eine rechen- und zeitintensive Neuausgleichung entfallen kann, lassen sich mit vertretbarem Aufwand verschiedene Störmodelle analysieren und die geschätzten Modellstörungen |
- | Offensichtlich | + | Offensichtlich |
===== Einfluss auf die Punktlage ===== | ===== Einfluss auf die Punktlage ===== | ||
- | Um Abzuschätzen, | + | Um Abzuschätzen, |
$$\mathbf{EP}_i=\mathbf{A}_{\mathbf{x}, | $$\mathbf{EP}_i=\mathbf{A}_{\mathbf{x}, | ||
- | worin '' | + | worin $\mathbf{A}_{\mathbf{x},i}$ den koordinatenbezogenen Anteil der Designmatrix |
$$\nabla\mathbf{x}_i=\mathbf{Q_{\hat{x}\hat{x}}}{\mathbf{\bar{A_{x}}}}^T{\mathbf{PB}}_i {\mathbf{\nabla}}_i$$ | $$\nabla\mathbf{x}_i=\mathbf{Q_{\hat{x}\hat{x}}}{\mathbf{\bar{A_{x}}}}^T{\mathbf{PB}}_i {\mathbf{\nabla}}_i$$ | ||
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$$\mathbf{\bar{A_{x}}}=\mathbf{A_x} - \mathbf{A_z}(\mathbf{A_z}^T\mathbf{PA_z})^{-1}\mathbf{A_z}^T\mathbf{PA_x}$$ | $$\mathbf{\bar{A_{x}}}=\mathbf{A_x} - \mathbf{A_z}(\mathbf{A_z}^T\mathbf{PA_z})^{-1}\mathbf{A_z}^T\mathbf{PA_x}$$ | ||
- | die um den Anteil der Zusatzunbekannten | + | die um den Anteil der Zusatzunbekannten |
$$\mathbf{EP}_i = (\mathbf{E} - \mathbf{R}_i)\mathbf{B}_i\nabla_i$$ | $$\mathbf{EP}_i = (\mathbf{E} - \mathbf{R}_i)\mathbf{B}_i\nabla_i$$ | ||
- | wodurch noch einmal die Wichtigkeit eines redundanten Netzes unterstrichen wird. Die Auswirkungen einer geschätzten Modellstörung auf die relative Punktlage hängt somit direkt vom Grad der Überschüssigkeit | + | wodurch noch einmal die Wichtigkeit eines redundanten Netzes unterstrichen wird. Die Auswirkungen einer geschätzten Modellstörung auf die relative Punktlage hängt somit direkt vom Grad der Überschüssigkeit |
+ | |||
+ | Der Einfluss auf die relative Punktlage $\mathbf{EP}$ sollte somit auch bei der Entscheidung, | ||
- | Der Einfluss auf die relative Punktlage '' | ||
===== Einflussbemessung der Netzverzerrung ===== | ===== Einflussbemessung der Netzverzerrung ===== | ||
- | Die ungünstigste Auswirkung einer nicht-erkannten [[# | + | Die ungünstigste Auswirkung einer nicht-erkannten [[# |
$$EF^2=\frac{1}{\sigma^2_0}\nabla\mathbf{x}^T\mathbf{Q_{\hat{x}\hat{x}}^{-1}}\nabla\mathbf{x}$$ | $$EF^2=\frac{1}{\sigma^2_0}\nabla\mathbf{x}^T\mathbf{Q_{\hat{x}\hat{x}}^{-1}}\nabla\mathbf{x}$$ | ||
Zeile 129: | Zeile 129: | ||
$$EF \cdot SP = EF \cdot \sigma_{P, | $$EF \cdot SP = EF \cdot \sigma_{P, | ||
- | worin ''// | + | worin $\sigma_{P,max}$ die maximale mittlere Unsicherheit der $k$ Koordinaten im Netz ist und sich aus |
$$\sigma^2_{P, | $$\sigma^2_{P, | ||
- | ergibt. Jäger et al. (2005) führen an, dass diese Einflussbemessung grundsätzlich überschätzt wird. Dennoch findet sich diese Kenngröße in den Verwaltungsvorschriften der Länder und ist bei der Netzbeurteilung mit zu berücksichtigen. In Baden-Württemberg(([[https:// | + | ergibt. Jäger et al. (2005) führen an, dass diese Einflussbemessung grundsätzlich überschätzt wird. Dennoch findet sich diese Kenngröße in den Verwaltungsvorschriften der Länder und ist bei der Netzbeurteilung mit zu berücksichtigen. In Baden-Württemberg(([[https:// |
least-squares-adjustment/reliability.txt · Zuletzt geändert: 2023/07/05 09:46 von Michael Lösler