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--- least-squares-adjustment:reliability [2025/03/10 11:19] – [Genauigkeitsmaße der Parameter] Michael Lösler
+++ least-squares-adjustment:reliability [2025/03/15 20:39] (aktuell) – Michael Lösler
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 ===== Genauigkeitsmaße der Parameter =====
-Die Genauigkeitsmaße der geschätzten Parameter z.B. die Koordinaten der Netzpunkte werden nach der [[:least-squares-adjustment|Ausgleichungsrechnung]] aus der Varianz-Kovarianz-Matrix $\mathbf{C_{\hat x \hat x}}$ der Parameter abgeleitet.
+Die Genauigkeitsmaße der geschätzten Parameter z.B. die Koordinaten der Netzpunkte werden nach der [[:least-squares-adjustment|Ausgleichungsrechnung]] aus der Varianz-Kovarianz-Matrix der Parameter abgeleitet. Diese ergibt sich aus der Kofaktormatrix $\mathbf{Q_{\hat x \hat x}}$, die entweder mit dem a-priori Varianzfaktor $\sigma^2_0$
-$$\mathbf{C_{\hat x \hat x}}=\hat{\sigma}_0^2\mathbf{Q_{\hat x \hat x}}$$
+$$\mathbf{C_{\hat x \hat x}}=\sigma_0^2\mathbf{Q_{\hat x \hat x}}$$
-Während auf der Hauptdiagonalen die Varianzen $\sigma^2$ der Parameter angeordnet sind, befinden sich auf den Nebendiagonalen die Kovarianzen $\rho$, welche die (linearen) Abhängigkeiten zwischen den Parametern quantifiziert. Während für $\rho \gt 0$ eine positive Korrelation besteht, sind die Parameter für $\rho \lt 0$ negativ korreliert. Für $\rho = 0$ sind die Parameter vollständig (linear) unabhängig.
+oder dem aus der Stichprobe abgeleiteten empirischen a-posteriori Varianzfaktor $\hat{\sigma}_0^2$ skaliert wurde.
-Die geschätzten Standardunsicherheiten $\sigma$ der Parameter z.B. der ausgeglichenen Koordinaten eines Punktes können demnach direkt aus der Varianz-Kovarianz-Matrix $\mathbf{C_{\hat x \hat x}}$ abgelesen werden. Zu beachten ist, dass die Varianz-Kovarianz-Matrix $\mathbf{C_{\hat x \hat x}}$ datumsabhängig ist. Dies bedeutet, dass bspw. die Standardunsicherheiten $\sigma$ nicht invariant gegenüber Netzverdrehungen sind und sich daher nur bedingt zur Genauigkeitsbeurteilung eignen. Ein punktbezogenes rotationsinvariantes Genauigkeitsmaß sind hingegen die Halbachsen der Konfidenzbereiche.
+$$\mathbf{\hat{C}_{\hat x \hat x}}=\hat{\sigma}_0^2\mathbf{Q_{\hat x \hat x}}$$
+Die Wahl des zu berücksichtigenden Varianzfaktors sollte problemspezifisch erfolgen. Insbesondere bei sehr kleinen Stichproben ist der a-priori Varianzfaktor häufig repräsentativer als der empirisch bestimmte a-posteriori Varianzfaktor.
+Während auf der Hauptdiagonalen die Varianzen der Parameter angeordnet sind, befinden sich auf den Nebendiagonalen die Kovarianzen, welche die (linearen) Abhängigkeiten zwischen den Parametern quantifiziert und häufig durch den Korrelationskoeffizient ausgedrückt wird. Der Korrelationskoeffizient lautet für das $i$-te und $j$-te Element aus $\mathbf{Q_{\hat x \hat x}}$
+$$\rho = \frac{q_{ij}}{\sqrt{q_{ii} \cdot q_{jj}}}$$
+Während für $\rho \gt 0$ eine positive Korrelation besteht, d.h. tendenziell fallen bzw. steigen beide Parameter gemeinsam, sind die Parameter für $\rho \lt 0$ negativ korreliert, d.h. tendenziell steigt einer der beiden Parameter an während der andere abfällt. Für $\rho = 0$ sind die Parameter vollständig (linear) unabhängig, d.h. die Änderung eines Parameters wirkt sich nicht auf den anderen aus.
+Die geschätzten Standardunsicherheiten $\sigma$ der Parameter z.B. der ausgeglichenen Koordinaten eines Punktes können demnach direkt aus der Varianz-Kovarianz-Matrix abgelesen werden. Zu beachten ist, dass die Varianz-Kovarianz-Matrix datumsabhängig ist. Dies bedeutet, dass bspw. die Standardunsicherheiten $\sigma$ nicht invariant gegenüber Netzverdrehungen sind und sich daher nur bedingt zur Genauigkeitsbeurteilung eignen. Ein punktbezogenes rotationsinvariantes Genauigkeitsmaß sind hingegen die Halbachsen der Konfidenzbereiche.
 Durch spektrale Zerlegung der punktbezogenen Sub-Kofaktormatrix $\mathbf{Q_{\hat x \hat x}}_{ii}$ werden die Halbachsen und die Orientierung des $n$-dimensionalen Hyperellipsoids gewonnen. Während sich für $n=3$ ein Ellipsoid ergibt, erhält man für $n = 2$ eine Ellipse und für $n = 1$ ein einfaches Intervall. Die Halbachsen bilden somit die Extremstellen des Konfidenzbereichs.
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 Im Folgenden soll explizit nur der räumliche Fall skizziert werden. Für $n \lt 3$ vereinfacht sich die Darstellung sinngemäß. Die $i$-te punktbezogene Sub-Kofaktormatrix $\mathbf{Q_{\hat x \hat x}}_{ii}$ lautet
-$$\sigma_0^2\mathbf{Q_{\hat x \hat x}}_{ii}=
+$$\mathbf{Q_{\hat x \hat x}}_{ii}=
 \begin{pmatrix}
-\sigma_x^2&\sigma_{xy}&\sigma_{xz}\\
+q_{xx}&q_{xy}&q_{xz}\\
-\sigma_{yx}&\sigma_y^2&\sigma_{yz}\\
+q_{xy}&q_{yy}&q_{yz}\\
-\sigma_{zx}&\sigma_{zy}&\sigma_z^2
+q_{xz}&q_{yz}&q_{zz}\\
 \end{pmatrix}_{ii}$$
-Die drei Halbachsen $a$, $b$ und $c$ ergeben sich aus den (sortierten) Eigenwerten $\mathbf{\lambda} = [\lambda_{max}, \lambda_{mid}, \lambda_{min}]^T$
+Die drei Halbachsen $a$, $b$ und $c$ ergeben sich aus den (sortierten) Eigenwerten $\mathbf{\lambda} = [\lambda_{max}, \lambda_{mid}, \lambda_{min}]^T$ und dem gewählten Varianzfaktor. Für den a-priori Varianzfaktor $\sigma_0^2$ gilt
 $a = \sigma_0 \sqrt{ \lambda_{max} }$, $b = \sigma_0 \sqrt{ \lambda_{mid} }$, $c = \sigma_0 \sqrt{ \lambda_{min} }$
+und für den a-posteriori Varianzfaktor $\hat{\sigma}_0^2$ entsprechend
+$\hat{a} = \hat{\sigma}_0 \sqrt{ \lambda_{max} }$, $\hat{b} = \hat{\sigma}_0 \sqrt{ \lambda_{mid} }$, $\hat{c} = \hat{\sigma}_0 \sqrt{ \lambda_{min} }$
 Die Orientierung lässt sich aus den drei korrespondierenden Eigenvektoren $\mathbf{m}$ ableiten.
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 Aufgrund der geringen Sicherheitswahrscheinlichkeit des einfachen Konfidenzbereichs von 40 % bzw. 20 % für einen Lage- bzw. Raumpunkt, werden die Halbachsen i.d.R. unter der Annahme der Normalverteilung mit einem Quantil der Fisher-Verteilung skaliert, sodass sich ein vergrößerter Konfidenzbereich mit einer entsprechend höheren Sicherheitswahrscheinlichkeit ergibt. In JAG3D wird die Sicherheitswahrscheinlichkeit $\left(1 - \alpha\right)$ als Gegenwahrscheinlichkeit aus der gewählten (und ggf. abgestimmten) [[:least-squares-adjustment:outlier#teststatistik|Irrtumswahrscheinlichkeit]] $\alpha$ abgeleitet.
-Die Längen der Halbachsen des Konfidenzbereichs hängen somit von der Sicherheitswahrscheinlichkeit und vom gewählten Varianzfaktor ab. Für a-priori Varianz-bezogene Konfidenzbereiche gilt für die Halbachsen
+Die Längen der Halbachsen des Konfidenzbereichs hängen somit von der Sicherheitswahrscheinlichkeit und vom gewählten Varianzfaktor ab. Für a-priori Varianzfaktor-bezogene Konfidenzbereiche gilt für die Halbachsen
 $$\sqrt{\sigma_0^2 \cdot \lambda \cdot n \cdot F_{n,\infty}}$$
-Entsprechend gilt für die Halbachsen von Konfidenzbereichen, die sich auf den a-posteriori Varianzfaktor beziehen
+Entsprechend gilt für die Halbachsen von Konfidenzbereichen, die sich auf den empirisch ermittelten a-posteriori Varianzfaktor beziehen
 $$\sqrt{\hat{\sigma}_0^2 \cdot \lambda \cdot n \cdot F_{n,r}}$$
+worin $r$ der Gesamtfreiheitsgrad der Ausgleichung ist.
 ===== Redundanzanteil =====
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   * $0.7 \leq r_i \leq 1.0$ → sehr gut kontrolliert.
-Die Summe aller $r_i$ bzw. die Spur der Matrix $\mathbf{R}$ liefert den Gesamtfreiheitsgrad $f = \tr \mathbf{R}$ der [[:least-squares-adjustment|Ausgleichung]]. Eine hohes Maß an Kontrolle wird erreicht, wenn die Anzahl an Beobachtungen $n$ erhöht wird. Dieser Forderung stehen jedoch vor allem wirtschaftliche Aspekte gegenüber. Mithilfe des Redundanzanteils $r_i$ lässt sich durch $1 - r_i$ der Grad der Überschüssigkeit angeben. Hierdurch lässt sich bemessen, welchen Anteil die Beobachtung am Ausgleichungsergebnis mit einbringt.
+Die Summe aller $r_i$ bzw. die Spur der Matrix $\mathbf{R}$ liefert den Gesamtfreiheitsgrad $r = \tr \mathbf{R}$ der [[:least-squares-adjustment|Ausgleichung]]. Eine hohes Maß an Kontrolle wird erreicht, wenn die Anzahl an Beobachtungen $n$ erhöht wird. Dieser Forderung stehen jedoch vor allem wirtschaftliche Aspekte gegenüber. Mithilfe des Redundanzanteils $r_i$ lässt sich durch $1 - r_i$ der Grad der Überschüssigkeit angeben. Hierdurch lässt sich bemessen, welchen Anteil die Beobachtung am Ausgleichungsergebnis mit einbringt.
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 worin $\mathbf{A}_{\mathbf{x},i}$ den koordinatenbezogenen Anteil der Designmatrix $\mathbf{A}$ des [[:least-squares-adjustment#funktionales_modell|funktionalen Modells]], $\nabla\mathbf{x}_i$ die Auswirkung einer Modellstörung $\nabla_i$ auf die geschätzten Koordinaten beschreiben
-$$\nabla\mathbf{x}_i=\mathbf{Q_{\hat{x}\hat{x}}}{\mathbf{\bar{A_{x}}}}^T{\mathbf{PB}}_i {\mathbf{\nabla}}_i$$
+$$\nabla\mathbf{x}_i=\mathbf{Q_{\hat{x}\hat{x}}}{\mathbf{\bar{A}_{x}}}^T{\mathbf{PB}}_i {\mathbf{\nabla}}_i$$
 und
-$$\mathbf{\bar{A_{x}}}=\mathbf{A_x} - \mathbf{A_z}(\mathbf{A_z}^T\mathbf{PA_z})^{-1}\mathbf{A_z}^T\mathbf{PA_x}$$
+$$\mathbf{\bar{A}_{x}}=\mathbf{A_x} - \mathbf{A_z}(\mathbf{A_z}^T\mathbf{PA_z})^{-1}\mathbf{A_z}^T\mathbf{PA_x}$$
 die um den Anteil der Zusatzunbekannten $\mathbf{A_z}$ reduzierte Designmatrix $\mathbf{A}$ sind. Enthält das funktionale Modell für die betreffende Beobachtung keine Zusatzparameter, so ergibt sich $\mathbf{EP}_i$ direkt aus