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Least-Squares Adjustment Software for Geodetic Sciences

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least-squares-adjustment:reliability

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least-squares-adjustment:reliability [2025/03/15 10:45] – Varianzfaktor Michael Löslerleast-squares-adjustment:reliability [2026/01/26 16:05] (aktuell) – [Redundanzanteil] Michael Lösler
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 $$\rho = \frac{q_{ij}}{\sqrt{q_{ii} \cdot q_{jj}}}$$ $$\rho = \frac{q_{ij}}{\sqrt{q_{ii} \cdot q_{jj}}}$$
  
-Während für $\rho \gt 0$ eine positive Korrelation besteht, sind die Parameter für $\rho \lt 0$ negativ korreliert. Für $\rho = 0$ sind die Parameter vollständig (linear) unabhängig.+Während für $\rho \gt 0$ eine positive Korrelation besteht, d.h. tendenziell fallen bzw. steigen beide Parameter gemeinsam, sind die Parameter für $\rho \lt 0$ negativ korreliert, d.h. tendenziell steigt einer der beiden Parameter an während der andere abfällt. Für $\rho = 0$ sind die Parameter vollständig (linear) unabhängig, d.h. die Änderung eines Parameters wirkt sich nicht auf den anderen aus.
  
 Die geschätzten Standardunsicherheiten $\sigma$ der Parameter z.B. der ausgeglichenen Koordinaten eines Punktes können demnach direkt aus der Varianz-Kovarianz-Matrix abgelesen werden. Zu beachten ist, dass die Varianz-Kovarianz-Matrix datumsabhängig ist. Dies bedeutet, dass bspw. die Standardunsicherheiten $\sigma$ nicht invariant gegenüber Netzverdrehungen sind und sich daher nur bedingt zur Genauigkeitsbeurteilung eignen. Ein punktbezogenes rotationsinvariantes Genauigkeitsmaß sind hingegen die Halbachsen der Konfidenzbereiche.  Die geschätzten Standardunsicherheiten $\sigma$ der Parameter z.B. der ausgeglichenen Koordinaten eines Punktes können demnach direkt aus der Varianz-Kovarianz-Matrix abgelesen werden. Zu beachten ist, dass die Varianz-Kovarianz-Matrix datumsabhängig ist. Dies bedeutet, dass bspw. die Standardunsicherheiten $\sigma$ nicht invariant gegenüber Netzverdrehungen sind und sich daher nur bedingt zur Genauigkeitsbeurteilung eignen. Ein punktbezogenes rotationsinvariantes Genauigkeitsmaß sind hingegen die Halbachsen der Konfidenzbereiche. 
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 |  3  |  19,87 %  | |  3  |  19,87 %  |
  
-Aufgrund der geringen Sicherheitswahrscheinlichkeit des einfachen Konfidenzbereichs von 40 % bzw. 20 % für einen Lage- bzw. Raumpunkt, werden die Halbachsen i.d.R. unter der Annahme der Normalverteilung mit einem Quantil der Fisher-Verteilung skaliert, sodass sich ein vergrößerter Konfidenzbereich mit einer entsprechend höheren Sicherheitswahrscheinlichkeit ergibt. In JAG3D wird die Sicherheitswahrscheinlichkeit $\left(1 - \alpha\right)$ als Gegenwahrscheinlichkeit aus der gewählten (und ggf. abgestimmten) [[:least-squares-adjustment:outlier#teststatistik|Irrtumswahrscheinlichkeit]] $\alpha$ abgeleitet. +Aufgrund der geringen Sicherheitswahrscheinlichkeit des einfachen Konfidenzbereichs von 40 % bzw. 20 % für einen Lage- bzw. Raumpunkt, werden die Halbachsen i.d.R. unter der Annahme der Normalverteilung mit einem Quantil der Fisher-Verteilung skaliert, sodass sich ein vergrößerter Konfidenzbereich mit einer entsprechend höheren Sicherheitswahrscheinlichkeit ergibt. In JAG3D wird die Sicherheitswahrscheinlichkeit bzw. das [[user-interface:settings#ausgleichungseinstellungen|Konfidenzniveau]] $\left(1 - \alpha\right)$ vom Anwender vorgegeben. Die Längen der Halbachsen des Konfidenzbereichs hängen somit von der Sicherheitswahrscheinlichkeit und vom gewählten Varianzfaktor ab. Für a-priori Varianzfaktor-bezogene Konfidenzbereiche gilt für die Halbachsen 
-Die Längen der Halbachsen des Konfidenzbereichs hängen somit von der Sicherheitswahrscheinlichkeit und vom gewählten Varianzfaktor ab. Für a-priori Varianzfaktor-bezogene Konfidenzbereiche gilt für die Halbachsen +
    
 $$\sqrt{\sigma_0^2 \cdot \lambda \cdot n \cdot F_{n,\infty}}$$ $$\sqrt{\sigma_0^2 \cdot \lambda \cdot n \cdot F_{n,\infty}}$$
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 worin $\mathbf{P}$ die (diagonale) Gewichtsmatrix des [[:least-squares-adjustment#stochastisches_modell|stochastischen Modells]] und $\mathbf{Q_{vv}}$ die Kofaktormatrix der Beobachtungsresiduen sind. Auf der Hauptdiagonalen von $\mathbf{R}$ stehen die sogenannten Redundanzanteile $r_i$ für jede Beobachtung. Für stochastisch unabhängige Beobachtungen stellt der Redundanzanteil $r_i$ einer Beobachtung ein normiertes Zuverlässigkeitsmaß dar und zeigt an, wie gut die betreffende Beobachtung durch die übrigen Beobachtungen kontrolliert wird. Während ein Redundanzanteil von $r_i = 0$ bedeutet, dass die Beobachtung nicht kontrolliert ist, repräsentiert $r_i = 1$ eine vollständige Kontrolle. Gelegentlich wird $r_i$ in Prozent angeben und durch den Parameter $EV_i [\%] = 100 \cdot r_i$ ausgedrückt. Als Faustregel für den Redundanzanteile $r_i$ gilt: worin $\mathbf{P}$ die (diagonale) Gewichtsmatrix des [[:least-squares-adjustment#stochastisches_modell|stochastischen Modells]] und $\mathbf{Q_{vv}}$ die Kofaktormatrix der Beobachtungsresiduen sind. Auf der Hauptdiagonalen von $\mathbf{R}$ stehen die sogenannten Redundanzanteile $r_i$ für jede Beobachtung. Für stochastisch unabhängige Beobachtungen stellt der Redundanzanteil $r_i$ einer Beobachtung ein normiertes Zuverlässigkeitsmaß dar und zeigt an, wie gut die betreffende Beobachtung durch die übrigen Beobachtungen kontrolliert wird. Während ein Redundanzanteil von $r_i = 0$ bedeutet, dass die Beobachtung nicht kontrolliert ist, repräsentiert $r_i = 1$ eine vollständige Kontrolle. Gelegentlich wird $r_i$ in Prozent angeben und durch den Parameter $EV_i [\%] = 100 \cdot r_i$ ausgedrückt. Als Faustregel für den Redundanzanteile $r_i$ gilt:
-  * $0.0 \leq r_i \lt  0.1$ → schlecht kontrolliert, +  * $0.0 \leq r_i \lt  0.1$ → schlecht kontrollierbar, 
-  * $0.1 \leq r_i \lt  0.3$ → ausreichend kontrolliert, +  * $0.1 \leq r_i \lt  0.3$ → ausreichend kontrollierbar, 
-  * $0.3 \leq r_i \lt  0.7$ → gut kontrolliert, +  * $0.3 \leq r_i \lt  0.7$ → gut kontrollierbar, 
-  * $0.7 \leq r_i \leq 1.0$ → sehr gut kontrolliert.+  * $0.7 \leq r_i \leq 1.0$ → sehr gut kontrollierbar.
  
-Die Summe aller $r_i$ bzw. die Spur der Matrix $\mathbf{R}$ liefert den Gesamtfreiheitsgrad $r = \tr \mathbf{R}$ der [[:least-squares-adjustment|Ausgleichung]]. Eine hohes Maß an Kontrolle wird erreicht, wenn die Anzahl an Beobachtungen $n$ erhöht wird. Dieser Forderung stehen jedoch vor allem wirtschaftliche Aspekte gegenüber. Mithilfe des Redundanzanteils $r_i$ lässt sich durch $1 - r_i$ der Grad der Überschüssigkeit angeben. Hierdurch lässt sich bemessen, welchen Anteil die Beobachtung am Ausgleichungsergebnis mit einbringt.+//Hinweis//: Es lässt sich leicht zeigen, dass selbst ein Redundanzanteil von $r_i > 0.999$ nicht ausreichen muss, um eine Modellstörung in der betreffenden Beobachtung eindeutig zu identifizieren. Redundanzanteile sind schematisch sondern stets im Kontext des Ausgleichungsproblems zu bewerten. 
 + 
 +Die Summe aller $r_i$ bzw. die Spur der Matrix $\mathbf{R}$ liefert den Gesamtfreiheitsgrad $r = \tr(\mathbf{R})$ der [[:least-squares-adjustment|Ausgleichung]]. Die Kontrollierbarkeit einer Beobachtung steigt i.A., wenn die Anzahl an Beobachtungen $n$ erhöht wird. Dieser Forderung stehen jedoch vor allem wirtschaftliche Aspekte gegenüber. Mithilfe des Redundanzanteils $r_i$ lässt sich durch $1 - r_i$ der Grad der Überschüssigkeit angeben. Hierdurch lässt sich bemessen, welchen Anteil die Beobachtung am Ausgleichungsergebnis mit einbringt.
  
  
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 worin $\mathbf{A}_{\mathbf{x},i}$ den koordinatenbezogenen Anteil der Designmatrix $\mathbf{A}$ des [[:least-squares-adjustment#funktionales_modell|funktionalen Modells]], $\nabla\mathbf{x}_i$ die Auswirkung einer Modellstörung $\nabla_i$ auf die geschätzten Koordinaten beschreiben worin $\mathbf{A}_{\mathbf{x},i}$ den koordinatenbezogenen Anteil der Designmatrix $\mathbf{A}$ des [[:least-squares-adjustment#funktionales_modell|funktionalen Modells]], $\nabla\mathbf{x}_i$ die Auswirkung einer Modellstörung $\nabla_i$ auf die geschätzten Koordinaten beschreiben
  
-$$\nabla\mathbf{x}_i=\mathbf{Q_{\hat{x}\hat{x}}}{\mathbf{\bar{A_{x}}}}^T{\mathbf{PB}}_i {\mathbf{\nabla}}_i$$+$$\nabla\mathbf{x}_i=\mathbf{Q_{\hat{x}\hat{x}}}{\mathbf{\bar{A}_{x}}}^T{\mathbf{PB}}_i {\mathbf{\nabla}}_i$$
  
 und und
least-squares-adjustment/reliability.1742031926.txt.gz · Zuletzt geändert: von Michael Lösler