Unterschiede

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--- least-squares-adjustment:reliability [2025/03/15 20:39] – Michael Lösler
+++ least-squares-adjustment:reliability [2026/01/26 16:05] (aktuell) – [Redundanzanteil] Michael Lösler
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-Aufgrund der geringen Sicherheitswahrscheinlichkeit des einfachen Konfidenzbereichs von 40 % bzw. 20 % für einen Lage- bzw. Raumpunkt, werden die Halbachsen i.d.R. unter der Annahme der Normalverteilung mit einem Quantil der Fisher-Verteilung skaliert, sodass sich ein vergrößerter Konfidenzbereich mit einer entsprechend höheren Sicherheitswahrscheinlichkeit ergibt. In JAG3D wird die Sicherheitswahrscheinlichkeit $\left(1 - \alpha\right)$ als Gegenwahrscheinlichkeit aus der gewählten (und ggf. abgestimmten) [[:least-squares-adjustment:outlier#teststatistik|Irrtumswahrscheinlichkeit]] $\alpha$ abgeleitet.
+Aufgrund der geringen Sicherheitswahrscheinlichkeit des einfachen Konfidenzbereichs von 40 % bzw. 20 % für einen Lage- bzw. Raumpunkt, werden die Halbachsen i.d.R. unter der Annahme der Normalverteilung mit einem Quantil der Fisher-Verteilung skaliert, sodass sich ein vergrößerter Konfidenzbereich mit einer entsprechend höheren Sicherheitswahrscheinlichkeit ergibt. In JAG3D wird die Sicherheitswahrscheinlichkeit bzw. das [[user-interface:settings#ausgleichungseinstellungen|Konfidenzniveau]] $\left(1 - \alpha\right)$ vom Anwender vorgegeben. Die Längen der Halbachsen des Konfidenzbereichs hängen somit von der Sicherheitswahrscheinlichkeit und vom gewählten Varianzfaktor ab. Für a-priori Varianzfaktor-bezogene Konfidenzbereiche gilt für die Halbachsen
-Die Längen der Halbachsen des Konfidenzbereichs hängen somit von der Sicherheitswahrscheinlichkeit und vom gewählten Varianzfaktor ab. Für a-priori Varianzfaktor-bezogene Konfidenzbereiche gilt für die Halbachsen
 $$\sqrt{\sigma_0^2 \cdot \lambda \cdot n \cdot F_{n,\infty}}$$
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 worin $\mathbf{P}$ die (diagonale) Gewichtsmatrix des [[:least-squares-adjustment#stochastisches_modell|stochastischen Modells]] und $\mathbf{Q_{vv}}$ die Kofaktormatrix der Beobachtungsresiduen sind. Auf der Hauptdiagonalen von $\mathbf{R}$ stehen die sogenannten Redundanzanteile $r_i$ für jede Beobachtung. Für stochastisch unabhängige Beobachtungen stellt der Redundanzanteil $r_i$ einer Beobachtung ein normiertes Zuverlässigkeitsmaß dar und zeigt an, wie gut die betreffende Beobachtung durch die übrigen Beobachtungen kontrolliert wird. Während ein Redundanzanteil von $r_i = 0$ bedeutet, dass die Beobachtung nicht kontrolliert ist, repräsentiert $r_i = 1$ eine vollständige Kontrolle. Gelegentlich wird $r_i$ in Prozent angeben und durch den Parameter $EV_i [\%] = 100 \cdot r_i$ ausgedrückt. Als Faustregel für den Redundanzanteile $r_i$ gilt:
-  * $0.0 \leq r_i \lt  0.1$ → schlecht kontrolliert,
+  * $0.0 \leq r_i \lt  0.1$ → schlecht kontrollierbar,
-  * $0.1 \leq r_i \lt  0.3$ → ausreichend kontrolliert,
+  * $0.1 \leq r_i \lt  0.3$ → ausreichend kontrollierbar,
-  * $0.3 \leq r_i \lt  0.7$ → gut kontrolliert,
+  * $0.3 \leq r_i \lt  0.7$ → gut kontrollierbar,
-  * $0.7 \leq r_i \leq 1.0$ → sehr gut kontrolliert.
+  * $0.7 \leq r_i \leq 1.0$ → sehr gut kontrollierbar.
-Die Summe aller $r_i$ bzw. die Spur der Matrix $\mathbf{R}$ liefert den Gesamtfreiheitsgrad $r = \tr \mathbf{R}$ der [[:least-squares-adjustment|Ausgleichung]]. Eine hohes Maß an Kontrolle wird erreicht, wenn die Anzahl an Beobachtungen $n$ erhöht wird. Dieser Forderung stehen jedoch vor allem wirtschaftliche Aspekte gegenüber. Mithilfe des Redundanzanteils $r_i$ lässt sich durch $1 - r_i$ der Grad der Überschüssigkeit angeben. Hierdurch lässt sich bemessen, welchen Anteil die Beobachtung am Ausgleichungsergebnis mit einbringt.
+//Hinweis//: Es lässt sich leicht zeigen, dass selbst ein Redundanzanteil von $r_i > 0.999$ nicht ausreichen muss, um eine Modellstörung in der betreffenden Beobachtung eindeutig zu identifizieren. Redundanzanteile sind schematisch sondern stets im Kontext des Ausgleichungsproblems zu bewerten.
+Die Summe aller $r_i$ bzw. die Spur der Matrix $\mathbf{R}$ liefert den Gesamtfreiheitsgrad $r = \tr(\mathbf{R})$ der [[:least-squares-adjustment|Ausgleichung]]. Die Kontrollierbarkeit einer Beobachtung steigt i.A., wenn die Anzahl an Beobachtungen $n$ erhöht wird. Dieser Forderung stehen jedoch vor allem wirtschaftliche Aspekte gegenüber. Mithilfe des Redundanzanteils $r_i$ lässt sich durch $1 - r_i$ der Grad der Überschüssigkeit angeben. Hierdurch lässt sich bemessen, welchen Anteil die Beobachtung am Ausgleichungsergebnis mit einbringt.