Hallo Pierre,

Das war mir nicht bewusst und hat zu meiner Verwirrung beigetragen. Du schreibst „derzeit“ bist Du dabei daran etwas zu ändern?

Das entscheide ich nach diesem Thread und unserem Gespräch zu diesem Thema ob es im Moment missverständlich ist - wenn auch korrekt berechnet. Da die Option, den Varianzfaktor zu vernachlässigen, erst später ergänzt wurde, hat dies bisher keine Auswirkung auf die Halbachsen gehabt. Man könnte die Berechnung aber an die Nutzereinstellung knüpfen, dies wäre ggf. intuitiver.

Aus welchem Grund bist Du hier auf die Einstellung keine Anpassung gegangen? Standardmäßig ist bei mir die B-Methode aktiv - müsste auch die Grundeinstellung von JAG3D sein.

Bei der Abstimmung wird das Alpha-Niveau angepasst, wie der nachfolgende Screenshot für das betrachtete Beispiel zeigt: Oben ohne Anpassung; unten mit Anpassung nach der B-Methode. Die beiden selektierten Zeilen sind das Quantil zur Skalierung der Konfidenzbereiche bei einem Lagepunkt. Ohne Abstimmung ist alpha tatsächlich 5 %, mit Abstimmung sind es in diesem Fall 9,5 %. Da Du explizit nach 95 % gefragt hattest, habe ich die Abstimmung deaktiviert.

Einfaches Beispiel: ich habe ein paar ausgeglichene Koordinaten und dazu die Varianz-Kovarianz-Matrix aus JAG3D. Mein gesuchtes Ergebnis ist die Strecke zwischen zwei Punkten (per Pythagoras) und dafür ermittle ich mir per Varianzfortpflanzung die Unsicherheit als Standardabweichung. Jetzt möchte ich für die berechnete Strecke ($t$-Verteilung) als auch für die Unsicherheit ($\chi^2$-Verteilung) ein Konfidenzniveau ableiten. Dazu fehlt mir jetzt leider der Freiheitsgrad zur Bestimmung des Quantils, oder der Ansatz ist nicht korrekt? Kann ich mir bei diesem und ähnlich gelagerten Fällen JAG3D zu nutzen machen?

Hier geht ein wenig was durcheinander, glaube ich. Wenn Du die Strecke aus den ausgeglichenen Koordinaten bestimmst und mit der Varianz-Kovarianz-Matrix dieser Punkte - durch Anwendung des Varianz-Kovarianz-Fortpflanzungsgesetzes - die Varianz dieser Strecke berechnest, dann gilt für die Strecke in der Ebene

$d = \sqrt{ \left(x_2-x_1\right)^2 + \left(y_2-y_1\right)^2}$

und für die auf den a-priori-bezogenen Varianzfaktor $\sigma_0^2$ bestimmt Varianz

$\sigma_d^2 = \sigma_0^2\mathbf{FQ_{\hat{x}}F^{\mathrm{T}}}$

Da sich diese Varianz auf die Varianz der Grundgesamtheit (a-priori Varianz) bezieht, ist zur Bildung des Vertrauensbereichs auf die Standardnormalverteilung oder die $\chi^2$-Verteilung zurückzugreifen. Beide sind hier identisch, vgl. die Ergebnisse aus Matlab für

norminv(1-0.05/2)

und

sqrt(chi2inv(1-0.05, 1))

Wird der a-posteriori Varianzfaktor $\hat{\sigma}_0^2$ verwendet, dann gilt für die Varianz der Strecke

$\hat{\sigma}_d^2 = \hat{\sigma}_0^2\mathbf{FQ_{\hat{x}}F^{\mathrm{T}}}$

Da sich diese Varianz auf die empirische Stichprobenvarianz (a-posteriori Varianz) bezieht, ist zur Bildung des Vertrauensbereichs auf die t-Verteilung oder die F-Verteilung zurückzugreifen. Beide sind hier wiederum identisch, vgl. die Ergebnisse aus Matlab für

tinv(1-0.05/2, 2)

und

sqrt(finv(1-0.05, 1, 2))

Als Freiheitsgrad für die t-Verteilung bzw. den Freiheitsgrad des Nenners bei Verwendung der F-Verteilung ist der Freiheitsgrad der empirischen Varianz $\hat{\sigma}_0^2$ zu verwenden. In unserem betrachteten Beispiel ist die Gesamtredundanz $r = 2$. Für $r = \infty$ erhältst Du die Ergebnisse der Standardnormalverteilung bzw. der $\chi^2$-Verteilung. Die Varianz der Grundgesamtheit ist sinngemäß eine unendlich große Stichprobe.

Viele Grüße
Micha